Inledning
De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen
$a_0+a_1x+a_2x^2+\mbox{...}+a_nx^n=0$
som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $x^2+1=0$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $x^2=-1$. Om vi däremot kan tänka oss $\sqrt{-1}$ som det tal som uppfyller ekvationen $x^2=-1$ och tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar.
$\sqrt{-1}$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\sqrt{-1}$ någonstans, eller hitta något som är $\sqrt{-1}$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang.
Exempel 1
Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen $x^2-2x+2=0$ så får vi först lösningarna $x_1=1+\sqrt{-1}$ och $x_1=1-\sqrt{-1}$. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet $\sqrt{-1}$. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ så ser vi att summan av $x_1$ och $x_2$ blir $1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2$ , alltså ett högst reellt tal.
För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.
Definition av komplext tal
Man inför den imaginära enheten $i=\sqrt{-1}$ och definierar ett komplext tal som ett objekt som kan skrivas på formen
där $a,\, b$ är reella tal och $i$ uppfyller $i^2=-1$.
Om $a = 0$ så kallas talet "rent imaginärt". Om $b = 0$ så är talet reellt. Vi ser här att de reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Mängden av de komplexa talen betecknas med $Z$.
För ett godtyckligt komplext tal använder man ofta beteckningen $z$. Om $z=a+bi$, där $a$ och $b$ är reella, så kallas $a$ för realdelen och $b$ för imaginärdelen av $z$. Man använder följande skrivsätt:
$$a = \mbox{Re} \; z$$
$$b=\mbox{Im} \; z$$
När man räknar med komplexa tal gör man i princip som med de reella talen, men håller reda på att $i^2=-1$ .
Addition och subtraktion
Vid addition och subtraktion av komplexa tal lägger man ihop (drar ifrån) realdel och imaginärdel var för sig. Om $z=a+bi$ och $w=c+di$ är två komplexa tal gäller alltså att
$$z+w=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i$$
$$z-w=a+bi-(c+di)=a-c+(b-d)i$$
Exempel 2
- $(3-5i)+(-4+i)=-1-4i$
- $\left(\displaystyle\frac{1}{2}+2i\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{6}+3i\right)=\displaystyle\frac{1}{3}-i$
- $\left(\displaystyle\frac{3+2i}{5}\right)-\left(\displaystyle\frac{3-i}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{6+4i}{10}\right)-\left(\displaystyle\frac{15-5i}{10}\right)=\displaystyle\frac{-9-9i}{10}=-0,\!9+0,\!9i$
Multiplikation
Komplexa tal multipliceras som vanliga reella tal eller algebraiska uttryck, med tillägget att $i^2=-1$. Generellt gäller för två komplexa tal $z=a+bi$ och $w=c+di$ att
$$z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
Exempel 3
- $3(4-i)=12-3i$
- $2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i$
- $(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i$
- $(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13$
- $(3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i$
- $i^{12}=\left(i^2\right)^6=(-1)^6=1$
- $i^{23}=i^{22}\cdot i=\left(i^2\right)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i$
Komplexkonjugat
Om $z=a+bi$ så kallas $\bar z = a-bi$ det komplexa konjugatet till $z$ (omvänt gäller också att $z$ är konjugat till $\bar z$). Man får då sambanden
$$z+\bar z = a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mbox{Re}\; z$$
$$z-\bar z = a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mbox{Im}\; z$$
men kanske framför allt, pga. konjugatregeln, att
$$z\cdot \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$$
dvs. att produkten av ett komplext tal och dess konjugat är alltid reell.
Exempel 4
- $z=5+i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =5-i $
- $z=-3-2i \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =-3+2i $
- $z=17\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =17 $
- $z=i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =-i $
- $z=-5i \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =5i $
Exempel 5
a) $z=4+3i$
$z+\bar z = 4 + 3i + 4 -3i = 8$
$z-\bar z = 6i$
$z \cdot \bar z = 4^2-(3i)^2=16+9=25$
b) För $z$ gäller att
$\left\{ \begin{matrix} \mbox{Re}\, z = -2 \\ \mbox{Im}\, z = 1 \end{matrix} \right.
\rightarrow \begin{matrix} z+\bar z = 2\,\mbox{Re}\, z = -4 \\ z-\bar z = 2i\,\mbox{Im}\, z = 2i \\
\,\,\,\,\,\, z\cdot \bar z = (-2)^2+1^2=5 \end{matrix}$
Division
När man dividerar två komplexa tal med varandra förlänger man med nämnarens konjugat och utnyttjar härigenom att nämnaren då blir ett reellt tal. Därefter kan såväl realdel som imaginärdel i täljaren divideras med detta tal.
Generellt, om $z=a+bi$ och $w=c+di$ :
$$\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=
\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$
Exempel 6
a) $\displaystyle\frac{4+2i}{1+i}=\frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=
\frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$
b) $\displaystyle\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2}=
\frac{25(3+4i}{25}=4+3i$
c) $\displaystyle\frac{3-2i}{i}=\frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i+2i^2}{-i^2}=
\frac{-2-3i}{1}=-2-3i$
Exempel 7
a)
$\displaystyle\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}=\frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=
\frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}=\frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}=\frac{3-i}{10}$
b)
$\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}=
\frac{\displaystyle\frac{1-i}{1-i}-\frac{2}{1-i}}{\displaystyle\frac{2i(2+i)}{(2+i)}+\frac{i}{2+i}}=
\frac{\displaystyle\frac{1-i-2}{1-i}}{\displaystyle\frac{4i+2i^2 + i}{2+i}}=
\frac{\displaystyle\frac{-1-i}{1-i}}{\displaystyle\frac{-2+5i}{2+i}}=
\frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i}=$
$\displaystyle\frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}=\frac{-1-3i}{3+7i}=
\frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}=\frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}=
\frac{-24-2i}{58}=\frac{-12-i}{29}$
Exempel 8
Bestäm det reella talet $a$ så att uttrycket $\displaystyle\frac{2-3i}{2+ai}$ blir reellt.
Lösning:
$\displaystyle\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)}=\frac{4-4ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2}=
\frac{4-3a-(2a-6)i}{4+a^2}$
Om uttrycket ska bli reellt så måste imaginärdelen vara $0$, dvs.
$2a-6=0 \Leftrightarrow a = 3$
Ekvationer
För att två komplexa tal $z=a+bi$ och $w=c+di$ ska vara lika, krävs att både real- och imaginärdel är lika, dvs. att $a=c$ och $b=d$.
När man söker ett okänt komplext tal z i en ekvation kan man antingen försöka lösa ut talet z på vanligt vis, eller sätta in $z=a+bi$ i ekvationen och därefter jämföra real- och imaginärdelar i ekvationens båda led med varandra.
Övning 9
Lös ekvationerna
a) $3z+1-i=z-3+7i$
b) $z(-1-i)=6-2i$
c) $3iz-2i=1-z$
d) $2z+1-i=\bar z +3 + 2i$
Lösning:
a)
$3z+1-i=z-3+7i \quad \Leftrightarrow \quad 2z = -4 + 8i \quad \Leftrightarrow
\quad z=\displaystyle\frac{-4 + 8i}{2} =
-2 + 4i$
b)
$z(-1-i)=6-2i \quad \Leftrightarrow \quad $
$z =\displaystyle\frac{6-2i}{-1-i}=\frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}=
\frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2}=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i$
c) $3iz-2i=1-z \quad \Leftrightarrow \quad 3iz+z=1+2i
\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i \quad \Leftrightarrow $
$\displaystyle z = \frac{1+2i}{1+3i}=\frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=
\frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2}=\frac{7-i}{10}$
d) $z=a+bi \Rightarrow$
$\Rightarrow 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i \quad \Leftrightarrow \quad (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i$
$\Rightarrow \quad\left\{ \begin{matrix} 2a+1=a+3\\2b-1=2-b\end{matrix}\right. \quad\Rightarrow\quad
\left\{ \begin{matrix} a=2 \\ b=1 \end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad z=2+i $
Råd för inläsning
Tänk på att:
text
Lästips
stående
Länktips
stående
© Copyright 2007, math.se
|
|
