Sommarmatte 2
Övning 1.1:1
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. BILD
| a) |
Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$? |
| b) |
För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$? |
| c) |
I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ? |
|
| a) |
$f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$ |
|
| b) |
$x=-3$ och $x=2$ |
|
| c) |
$-3\le x \le 2$ |
|
Övning 1.1:2
Bestäm $f'(x)$ om
| a) |
$f(x) = x^2 -3x +1$ |
b) |
$f(x)=\cos x -\sin x$ |
c) |
$f(x)= e^x-\ln x$ |
| d) |
$f(x)=\sqrt{x}$ |
e) |
$f(x) = (x^2-1)^2$ |
f) |
$f(x)= \cos (x+\pi/3)$ |
| a) $f'(x)=2x-3$ |
| b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ |
| c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$ |
| d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$ |
| e) $f'(x)=4x(x^2-1)$ |
| f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ |
Övning 1.1:3
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
Övning 1.1:4
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
|
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$
Normalens ekvation: $\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ |
|
Övning 1.1:5
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
| $\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$ |
|
Övning 1.2:1
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) |
$\cos x \cdot \sin x$ |
b) |
$x^2\ln x$ |
c) |
$\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$ |
| d) |
$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ |
e) |
$\displaystyle\frac{x}{\ln x}$ |
f) |
$\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$ |
| a) |
$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ |
b) |
$2x\ln x+ x$ |
c) |
$\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$ |
| d) |
$\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$ |
e) |
$\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$ |
f) |
$\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$ |
Övning 1.2:2
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) |
$ \sin x^2$ |
b) |
$e^{x^2+x}$ |
c) |
$\sqrt{\cos x}$ |
| d) |
$\ln \ln x$ |
e) |
$x(2x+1)^4$ |
f) |
$\cos \sqrt{1-x}$ |
| a) |
$\cos x^2 \cdot 2x$ |
b) |
$e^{x^2+x}(2x+1)$ |
c) |
$\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$ |
| d) |
$\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$ |
e) |
$(2x+1)^3(10x+1)$ |
f) |
$\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$ |
Övning 1.2:3
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) |
$ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$ |
b) |
$\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ |
c) |
$\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$ |
| d) |
$\sin \cos \sin x$ |
e) |
$e^{\sin x^2}$ |
f) |
$x^{\tan x}$ |
| a) |
$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ |
b) |
$\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$ |
c) |
$\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$ |
| d) |
$-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$ |
e) |
$e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$ |
f) |
$\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$ |
Övning 1.2:4
Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) |
$ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ |
b) |
$x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$ |
| a) |
$\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$ |
b) |
$\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$ |
