Dag 9
Linjär algebra
| Versionen från 28 maj 2007 kl. 13.56 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 28 maj 2007 kl. 13.56 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
| Definitionerna ovan är viktiga, men oftast opraktiska för räkningar. Vi skall därför beskriva våra vektorer på ett nytt sätt som gör att de mycket enkelt kan adderas och multipliceras med reella tal. I planet (eller i rummet) lägger vi in ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering. Givet en vektor $v$ ritar vi ut den riktade sträcka som börjar i origo och representerar $v$. Slutpunkten för sträckan har koordinater $(a,b)$ (eller $(a,b,c)$ i rummet) och dessa koordinater beskriver $v$ fullständigt. Vi skriver därför ofta $v=(a,b)$ (eller $v=(a,b,c)$ i rummet). Det visar sig då att vektoraddition fugerar på så sätt att $v=(a,b)$ och $u=(c,d)$ ger $u+v=(a+c,b+d)$ och att $tv=(ta,tb)$. | Definitionerna ovan är viktiga, men oftast opraktiska för räkningar. Vi skall därför beskriva våra vektorer på ett nytt sätt som gör att de mycket enkelt kan adderas och multipliceras med reella tal. I planet (eller i rummet) lägger vi in ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering. Givet en vektor $v$ ritar vi ut den riktade sträcka som börjar i origo och representerar $v$. Slutpunkten för sträckan har koordinater $(a,b)$ (eller $(a,b,c)$ i rummet) och dessa koordinater beskriver $v$ fullständigt. Vi skriver därför ofta $v=(a,b)$ (eller $v=(a,b,c)$ i rummet). Det visar sig då att vektoraddition fugerar på så sätt att $v=(a,b)$ och $u=(c,d)$ ger $u+v=(a+c,b+d)$ och att $tv=(ta,tb)$. | ||
| - | Läs nu igenom avsnitt 3.1 för att få lite exempel på det som beskrivits här och försök sedan själv använda idéerna för att lösa 3.1.3abe, 3.1.6abf, 3.1.7, 3.1.8 och 3.1.11. De svar som inte finns i bokens facit kan du läsa på [svar på övningarna 3.1.7 och 3.1.11]. | + | Läs nu igenom avsnitt 3.1 för att få lite exempel på det som beskrivits här och försök sedan själv använda idéerna för att lösa 3.1.3abe, 3.1.6abf, 3.1.7, 3.1.8 och 3.1.11. De svar som inte finns i bokens facit kan du läsa på [[svar på övningarna 3.1.7 och 3.1.11]]. |
Versionen från 28 maj 2007 kl. 13.56
3.1 Introduktion till vektorer
Vektorer är ett av matematikens allra mest användbara begrepp. En vektor är en riktning tillsammans med en längd. Du har säkert redan stött på vektorer i gymnasiefysiken där man exempelvis beskriver krafter med hjälp av vektorer. En kraft brukar markeras med en pil som pekar i kraftens riktining och vars längd anger kraftens styrka.
Man kan alltså tänka på en vektor $v$ i planet som en riktad sträcka och om denna sträcka. Om denna sträcka har startpunkt $A$ och slutpunkt $B$ så skriver man ofta $v=\vec{AB}$. Vad som är mycket viktigt att hålla i minnet är dock att olika riktade sträckor representerar samma vektor om deras längder och riktningar är lika. Exempelvis har vi att om $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $C=(6,-2)$ och $D=(8,-1)$ så är $\vec{AB}=\vec{CD}$. (Pricka in punkterna $A, B, C$ och $D$ i ett koordinatsystem och rita ut $AB$ och $CD$ för att kontrollera detta!)
Två vektorer $u$ och $v$ kan adderas på följande sätt: Rita upp $u=\vec{AB}$ med början i en valfri punkt $A$. Rita sedan $v=\vec{BC}$ med startpunkt i $u$s slutpunkt. De båda vektorerna summa $u+v$ definieras då som $\vec{AC}$, diagonalen i den parallellogram som har $u$ och $v$ som sidor. (Rita figur!) Genom att rita upp parallellogrammen ser man också tydligt att vektor addition är kommutativ, dvs att $u+v=v+u$. Man kan också definiera vad som menas med $tv$, där $t$ är ett reellt tal och $v$ en vektor.
Definitionerna ovan är viktiga, men oftast opraktiska för räkningar. Vi skall därför beskriva våra vektorer på ett nytt sätt som gör att de mycket enkelt kan adderas och multipliceras med reella tal. I planet (eller i rummet) lägger vi in ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering. Givet en vektor $v$ ritar vi ut den riktade sträcka som börjar i origo och representerar $v$. Slutpunkten för sträckan har koordinater $(a,b)$ (eller $(a,b,c)$ i rummet) och dessa koordinater beskriver $v$ fullständigt. Vi skriver därför ofta $v=(a,b)$ (eller $v=(a,b,c)$ i rummet). Det visar sig då att vektoraddition fugerar på så sätt att $v=(a,b)$ och $u=(c,d)$ ger $u+v=(a+c,b+d)$ och att $tv=(ta,tb)$.
Läs nu igenom avsnitt 3.1 för att få lite exempel på det som beskrivits här och försök sedan själv använda idéerna för att lösa 3.1.3abe, 3.1.6abf, 3.1.7, 3.1.8 och 3.1.11. De svar som inte finns i bokens facit kan du läsa på svar på övningarna 3.1.7 och 3.1.11.
