Dag 11

Linjär algebra

[redigera] 4.1 Det $n$-dimensionella euklidiska rummet

För vektorer i rummet har vi sett att om vi bestämmer oss för ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering så kan vi istället för en vektor använda vektorns koordinater och räkna direkt med dem. På så vis kan vi enkelt beräkna till exempel summan, skalärprodukten och vektorprodukten av två vektorer med olika formler. I rummet har varje vektor tre koordinater, men samma vis att räkna på kan användas även för större antal koordinater. (Dock finns ingen formel för vektorprodukt i andra dimensioner än tre.) I avsnitt 4.1 beskrivs mer i detalj hur detta går till. Koordinatformeln för skalärprodukt kan på naturligt sätt utvidgas till att gälla $n$-tupler:

Om $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ och $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ så definierar vi $x \cdot y=x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$.

Mängden av $n$-tupler med addition, multiplikation med reellt tal och skalärprodukt definierat med koordinatformler som beskrivs ovan kallas $R^n$ eller det $n$-dimensionella euklidiska rummet.

Med hjälp av skalärprodukten kan man sedan definiera längden av en vektor och därmed även avståndet mellan två punkter. Man kan sedan visa att Pythagoras sats och triangelolikheten gåller också i $R^n$.

Lite vid sidan om det övriga innehållet i avsnittet är beskrivningen på sidorna 176 och 177 av hur skalärprodukt kan fås genom en matrismultiplikation och hur produkten av två matriser $AB$ på varje position innehåller en skalärprodukt av en rad från $A$ och en kolumn från $B$. Detta är ibland ett mycket användbart sätt att se matrismultiplikation på som till en början kan vara lite svårt att greppa. Återkom gärna till dessa sidor senare om du inte förstår dem riktigt nu.

Nu är det dags för en noggrann genomläsning av 4.1 och övningsräkning:

Gör följande övningar i första hand:

• 4.1.1acf, 4.1.3, 4.1.4, 4.1.5cd, 4.1.6ac, 4.1.9cd, 4.1.11cd, 4.1.14bdf

Om du får tid över kan du även göra:

• 4.1.16, 4.1.24 och 4.1.26.

De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan svar till övningar på avsnitt 4.1.

[redigera] 4.2 Linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$

Vi skall nu se på avbildningar $T:R^n \rightarrow R^m$, det vill säga att man stoppar in en $m$-tupel i $T$ och får ut en $n$-tupel. Som de av er som läst envariabelanalys är det väldigt svårt att helt förstå sig på de funktioner man studerar där och då är det bara specialfallet $n=m=1$ som man arbetar med! Som skall vi begränsa oss till den enklaste typ av funktioner som finns, nämligen de linjära. En funktion (eller avbildning) $T:R^n \rightarrow R^m$ kallas linjär om den kan beskrivas med en matris. Mer exakt om det finns en matris $m \times n$-matris $A$ sådan att $T(x)=Ax$ där $x$ ligger i $R^n$. Om en sådan matris $A$ finns kallas $T$ en linjär avbildning och $A$ kallas standardmatrisen för $T$.

Större delen av detta avsnitt är en genomgång av några viktiga linjära avbildningar: nollavbildningen, identitetsavbildningen, speglingar, projektioner, rotationer, sammandragningar och utvidgningar. För var och en av dem resonerar man sig fram hur standardmatrisen ser ut. Du behöver inte lägga de olika matriserna på minnet, det viktiga är att du förstår resonemangen som ligger bakom. Då kan du själv tänka ut hur matrisen ser ut om det skulle behövas.

Sista delen av avsnittet handlar om sammansättning av linjära avbildningar. Om $T:R^n \rightarrow R^m$ är en linjär avbildning med standardmatris $B$, och $S:R^m \rightarrow R^k$ är en linjär avbildning med standardmatris $A$ så kan man se på sammansättningen $S \circ T(x)=S(T(x))$. (Lägg märke till att man först utför transformationen $T$ på $x$ och sedan $S$ på resultatet. Det är alltså den avbildning som står sist i en sammansättning som tillämpas först, eftersom den är närmast $x$.) Nu är $S \circ T(x)=S(T(x))=S(Bx)=ABx$, vilket visar att matrisen för $S \circ T$ är $AB$, produkten av matriserna för $S$ och $T$. Läs mer i boken för att få exempel på olika sammansättningar, bland annat exempel som visar att ordningen spelar roll, dvs att $S \circ T$ inte alltid är lika med $T \circ S$.

Gör följande övningar i första hand:

   * 4.2.1ab, 4.2.2abc, 4.2.3, 4.2.4ac, 4.2.5b, 4.2.6bc, 4.2.7b, 4.2.8abc

Om du får tid över kan du även göra:

   * 4.2.13a, 4.2.15, 4.2.18a, 4.2.21

De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan svar till övningar på avsnitt 4.2.