Exempellösningar
Linjär algebra
Som mentor/lärare så blir man ibland tvungen att lösa tal i kursboken, då flitiga elever frågar på dessa. Dessa lösningar är ju synd och skam att sitta och gömma, så här hamnar de.
[redigera] Uppgift 8.2.7b
Finn en bas till kernel (nollrummet) till avbildningen från $\mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$, som ges av $(x_1,x_2,x_3,x_4) \rightarrow (4x_1+x_2-2x_3-3x_4,2x_1+x_2+x_3-4x_4,6x_1-9x_3+9x_4)$.
[redigera] Lösning
Vi ställer upp matrisen för avbildningen;
$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9 \\ \end{pmatrix}$
Vi vill finna en bas för det vektorrum av vektorer $\mathbf{x}$ som uppfyller $A\mathbf{x} = 0$.
Vi löser då ekvationssystemet, och då "högerledet" är 0, så utesluts detta för enkelhets skull.
Gausselimination ger då
$\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9 \\ \end{pmatrix}$ $\quad \Rightarrow \quad$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Låt oss då kalla $x_3=t$. Detta ger oss då att $\mathbf{x} = (3t/2,-4t,t,0)$. (Här är det dags att kontrollera att alla dessa vektorer verkligen avbildas på $\mathbf{0}$).
Rummet som avbildas på $\mathbf{0}$ är altså endimensionellt och spänns upp av $(3,-8,2,0)$ till exempel.
