Dag 2
Linjär algebra
| Versionen från 30 maj 2007 kl. 14.11 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 30 maj 2007 kl. 14.18 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
| Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9. | Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9. | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand: | ||
| + | * 2.7, 2.8 | ||
| + | |||
| + | Har du tid över kan du göra även: | ||
| + | * 2.13 ( | ||
| + | |||
| == 3.1 Polynom och faktorsatsen == | == 3.1 Polynom och faktorsatsen == | ||
| Rad 9: | Rad 16: | ||
| Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom. | Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom. | ||
| - | I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, får $x^4+3x^2$, vilket subtraheras från $f(x)$. | + | I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ och processen upprepas. |
| + | Sats 3.5 är högst grundläggande och har du tid och lust, läs gärna igenom beviset. | ||
| Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand: | Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand: | ||
Versionen från 30 maj 2007 kl. 14.18
Läs första stycket i Avsnitt 3.1 till att börja med.
2.2 Andragradsekvationer med komplexa koefficienter
Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade pq-formeln. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.
Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand:
- 2.7, 2.8
Har du tid över kan du göra även:
- 2.13 (
3.1 Polynom och faktorsatsen
Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom.
I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ och processen upprepas.
Sats 3.5 är högst grundläggande och har du tid och lust, läs gärna igenom beviset.
Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand:
- 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.11-2.12
Har du tid över kan du göra även:
- 2.4, 2.6, 2.9
