Dag 2
Linjär algebra
| Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.28 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.29 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
| Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15. | Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15. | ||
| - | Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med [[reella]] koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11. | + | Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11. |
| Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2]. | Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2]. | ||
Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.29
3.1-3.2 Polynom och algebraiska ekvationer
Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom.
I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ osv.
Har du tid och lust, läs gärna igenom beviset av Sats 3.5. Gå igenom Exempel 3.6 noga, eftersom du kommer att arbeta på det sättet i övningar. Lös ekvationen även genom att dividera $x^3-5x^2-x+5$ med $x-1$. Sats 3.7 och Följdsats 3.8 är viktiga byggstenar för arbete med polynom, men du behöver inte läsa igenom bevisen.
Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.
Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med reella koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11.
Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].
Sats 3.16 (ej bevis) med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.
Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
- 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.],
3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,
Har du tid över kan du göra även:
- 3.9, 3.15
