Dag 1
Linjär algebra
| Versionen från 31 maj 2007 kl. 11.48 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (6 juni 2007 kl. 15.53) (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) |
||
| (10 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | == 1.1 Notation och inledande logik == | + | == 1 Induktion == |
| - | Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Delen om logik kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart. | + | Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart. |
| - | == 2.1, 2.3 Komplexa tal == | + | Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Kortfattat handlar den om att om man förutsatt att ett påstående gäller vid ett visst heltalsvärd kan visa att påståendet gäller även för nästförljande heltal, så är påståendet sant för alla heltalsvärden. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$. |
| - | För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall förstå varför de är som de är. Detsamma gäller Satserna 2.7 och 2.8. | + | När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa. |
| - | ''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska). | + | |
| - | Läs första stycket i Avsnitt 3.1 till att börja med. | + | 1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal. |
| - | == 2.2 Andragradsekvationer med komplexa koefficienter == | + | 2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet. |
| - | Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9. | + | 3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$. |
| - | Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 i första hand: | ||
| - | * 2.7, 2.8 | ||
| - | Har du tid över kan du göra även följande övningar i Avsnitt 3.4: | + | Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand: |
| - | * 3.1 ''Ledning''. Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$. | + | * 1.1 eller 1.3 [vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller det att tillämpa induktion], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12 |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | För att tillgodogöra dig innehållet i avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$. | + | |
| - | ''Kommentar''. Beviset av den så kallade '''de Moivres formel''', som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$. | + | |
| - | + | ||
| - | Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand: | + | |
| - | * 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.11, 2.12 | + | |
| Har du tid över kan du göra även: | Har du tid över kan du göra även: | ||
| - | * 2.4, 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13) | + | * 1.5 [innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$], 1.9, 1.10, 1.15 |
Nuvarande version
[redigera] 1 Induktion
Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.
Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Kortfattat handlar den om att om man förutsatt att ett påstående gäller vid ett visst heltalsvärd kan visa att påståendet gäller även för nästförljande heltal, så är påståendet sant för alla heltalsvärden. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.
När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.
1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal.
2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.
3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$.
Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
- 1.1 eller 1.3 [vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller det att tillämpa induktion], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12
Har du tid över kan du göra även:
- 1.5 [innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$], 1.9, 1.10, 1.15
