Svar till 7.1.23
Linjär algebra
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 8 juni 2007 kl. 13.31 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) (Ny sida: 7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden. $\lambda$ egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lamb...) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 8 juni 2007 kl. 13.32 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| 7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden. | 7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden. | ||
| - | $\lambda$ egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda är egnvärde till $A^T$. | + | $\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$. |
| Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$. | Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$. | ||
Versionen från 8 juni 2007 kl. 13.32
7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.
$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.
Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.
