Dag 14
Linjär algebra
| Versionen från 9 juni 2007 kl. 16.23 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (9 juni 2007 kl. 16.37) (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
| Har du tid över kan du göra även: | Har du tid över kan du göra även: | ||
| * 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19 | * 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19 | ||
| - | [[Svar till jämna övningar i 5.3]] | + | [[Svar till jämna övningar ovan]] |
Nuvarande version
[redigera] 5.3 Linjärt oberoende
Detta avsnitt handlar västenligen om ekvationen $k_1{\bf v}_1+k_2{\bf v}_2+\ldots +k_r{\bf v}_r={\bf 0}$ för en uppsätning av vektorer ${\bf v}_i$. Läs igenom definitionen och de efterförljande exemplen. Lösningen $k_1=k_2=\ldots =k_r$ kallas den triviala lösningen i litteraturen. Märk väl att ekvationen har antingen en lösning, den triviala, eller oändligt många. I Exempel 1 ges den icke-triviala lösningen $k_1=3, k_2=1, k_3=-1$, men ekvationen har även lösningen $k_1=-6, k_2=-2, k_3=2$ och $k_1=3\pi, k_2=\pi, k_3=-\pi$ och alla oändligt många på formen $k_1=3t, k_2=t, k_3=-t$, där $t$ är ett godtyckligt reellt tal. Lösning av ekvationen för att avgöra om en uppsätning av vektorer är linjärt beorende eller ej leder till lösning av linjära ekvationssystem, såsom visas i exempel 4. Läs noga igenom exempel 2 och 5, som visar hur det går till att avgöra linjärt oberoende i andra vektorrum än $R^2$.
Sats 5.3.1 är ett mycket nyttigt resultat. Hoppa inte över beviset, som ger en god insikt om begreppet linjärt oberoende. Ett vanligt missförstånd är att tro att om någon av vektorerna inte kan skrivas som linjär kombination av de övriga, så blir hela uppsättningen linjärt oberoende. Som det står i sats 5.3.1(b) ska ingen av vektorerna kunna skrivas som linjär kombination av de övriga för att linjärt oberoende skall gälla. Exempel: vektorerna ${\bf v}_1=(1,-1,2), {\bf v}_2=(3,0,-1), {\bf v}_3=(1,2,3), {\bf v}_4=(-1,-2,5)$ är linjärt beroende, ty ekvationen har lösning $k_1=-2t, k_2=t, k_3=0, k_4=t$, där $t$ är reellt; då kan man aldrig uttrycka ${\bf v}_3=(1,2,3)$ som linjär kombination av de övriga vektorerna.
Läs beviset av sats 5.3.2(a) och försök bevisa 5.3.2(b). Beviset av sats 5.3.3 är en bra repetition av egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Hoppa över resten av avsnittet.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7
Har du tid över kan du göra även:
- 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19
[redigera] 5.4 Bas och dimension
En och samma vektor $\bf v$ i, säg, $R^3$ kan skrivas som linjär kombination av tre linjärt oberoende vektorer på ett unikt sätt. Om man däremot väljer fyra vektorer i $R^3$, kommer $\bf v$ att kunna skrivas som linjär kombination av dessa fyra på ett oändligt antal sätt. För att ha en unik representation, inför man en bas. En bas för ett vektorrum $V$ är alltså en uppsättning av linjärt oberoende vektorer, basvektorer, som genererar ("span" eller "generate" på engelska) $V$; det sistnämnda innebär att varje vektor ${\bf v}\in V$ kan på ett unikt sätt skrivas som en linjär kombination av basvektorerna. Vektorerna i en bas för ett vektorrum kan man välja på många sätt, men antalet basvektorer för ett och samma vektorrum kommer alltid att vara detsamma. Detta antal kallas vektorrummets dimension. Läs nu definitionen, sats 5.4.1 och gärna dess bevis. Gå igenom alla exemplen, exempel 8 är dock överkurs. Sats 5.4.2 följer enkelt från egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Läs vidare tom exempel 10, resten av texten kan du läsa översiktligt.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.4.1, 5.4.3, 5.4.11
Har du tid över kan du göra även:
- 5.4.13, 5.4.17, 5.3.21
