Dag 18

Linjär algebra

(Skillnad mellan versioner)

Versionen från 11 juni 2007 kl. 08.11

6.4 Minstakvadratmetoden

Givet ett linjärt ekvationssystem $A\bf x=b$ kan det hända att systemet saknar en lösning ${\bf x}=(x_1,\ldots ,x_n)$, men man kan vara intresserad av att hitta en approximativ lösning. Vad för sorts approximation man är ute efter är inte entydigt, eftersom man kan vara intresserad av att de absoluta felen i varje $x_i$ skall vara så små som möjligt eller att summan av felen skall minimeras eller $\ldots$ eller $\ldots$. Låt $\bf x'$ vara den approximativa lösningen och $A\bf x'=b'$. I detta avsnitt behandlar vi minstakvadratmetoden, där normen av vektorn $\bf b-b'$ skall minimieras.

Algoritmen är enkel: (1) Kontrollera om $A\bf x=b$ har en exakt lösning (2) Om inte, bilda normalekvationen $A^T A{\bf x}=A^Tb$ (3) Lösningen till normalekvationen ger den approximativa lösningen till ursprungssystemet $A\bf x=b$.

Varför algoritmen fungerar förklaras bäst med hjälp av bilder, varför vi hänvisar till läroboken. Läs tom exempel 2 och hoppas över resten, utom möjligen sats 6.4.5, som kompletterar ytterligare vår lista över egenskaper, som vi har samlat på oss sedan sats 1.5.3.

Gör följande övningar i första hand:

6.4.1, 6.4.3

Har du tid över kan du göra även:

6.4.5

6.5 Basbyte

Exempel 1. Låt ${\bf e}_1=(1,0), {\bf e}_1=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf f}_1=(1,2), {\bf f}_1=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_e$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_f$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $e$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $f$-basen.

Exempel 2. Låt $e$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_e=(1,0)_g$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $e$- eller $g$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.

Låt oss anta att vi har en bas $e$ och bildar en ny bas $f$, vars vektorer är ${\bf f}_1=a{\bf e}_1+b{\bf e}_2=(a,b)_e, {\bf f}_2=c{\bf e}_1+d{\bf e}_2=(c,d)_e$.

Gör följande övningar i första hand:

6.5.1, 6.5.3, 6.5.4

Har du tid över kan du göra även:

6.5.10, 6.5.11

6.6 Ortogonala matriser

Gör följande övningar i första hand:

6.6.1, 6.6.3, 6.6.8

Har du tid över kan du göra även:

6.6.13, 6.6.15

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php/Dag_18

Dag 18

Linjär algebra

Versionen från 11 juni 2007 kl. 08.11

6.4 Minstakvadratmetoden

6.5 Basbyte

6.6 Ortogonala matriser

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

-Exempel 1. Låt ${\bf e}_1=(1,0), {\bf e}_1=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf u}_1=(1,2), {\bf e}_1=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf f}=(1,1)_e$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_u$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf f$:s norm i $e$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $u$-basen.
+Exempel 1. Låt ${\bf e}_1=(1,0), {\bf e}_1=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf f}_1=(1,2), {\bf f}_1=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_e$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_f$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $e$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $f$-basen.
-Exempel 2. Låt $e$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf v}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf v}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_e=(1,0)_v$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $e$- eller $v$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.
+Exempel 2. Låt $e$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_e=(1,0)_g$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $e$- eller $g$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.
 Låt oss anta att vi har en bas $e$ och bildar en ny bas $f$, vars vektorer är ${\bf f}_1=a{\bf e}_1+b{\bf e}_2=(a,b)_e, {\bf f}_2=c{\bf e}_1+d{\bf e}_2=(c,d)_e$.