Dag 21
Linjär algebra
| Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.42 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (11 juni 2007 kl. 10.12) (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 30: | Rad 30: | ||
| Anledningen till att man intresserar sig för injektiva avbildningar (linjära eller andra) är att det ligger i sakens natur att det är just dessa avbildningar som har invers. Om två olika vektorer aldrig avbildas på samma vektor är det möjligt att gå baklänges: Till varje vektor $w$ i $T$'s värderum (Obs! bara i värderummet som inte alltid är hela $W$.) finns precis en vektor $v \in V$ sådan att $T(v)=w$. Detta ger en invers avbildning $T^{-1}: R(T) \rightarrow V$. ($R(T)$ är boken beteckning för värderummet till $T$.) | Anledningen till att man intresserar sig för injektiva avbildningar (linjära eller andra) är att det ligger i sakens natur att det är just dessa avbildningar som har invers. Om två olika vektorer aldrig avbildas på samma vektor är det möjligt att gå baklänges: Till varje vektor $w$ i $T$'s värderum (Obs! bara i värderummet som inte alltid är hela $W$.) finns precis en vektor $v \in V$ sådan att $T(v)=w$. Detta ger en invers avbildning $T^{-1}: R(T) \rightarrow V$. ($R(T)$ är boken beteckning för värderummet till $T$.) | ||
| - | För matrisavbildningar från $R^n$ till $R^n$ får man, som vi tidigare sett, inversa avbildningen genom att invertera matrisen. (Se exempel 7). Glöm inte heller att en geometrisk tolkning av den avbildning matrisen beskriver ibland gör att man direkt inser vad inversen skall vara. Inversen skall "ta ut" ursprungsavbildningen. Om $T$ är vridning $17$ radianer kring $z$-axeln moturs sett från axelns spets, så är $T{-1}$ vridning $17$ radianer kring $z$-axeln medurs sett från axelns spets. Ett exempel på att hitta invers utan att använda vare sig matrisinvertering eller geometrisk tolkning kan du läsa om i exempel 6. Läs nu hela avsnitt 8.3 och arbeta med uppgifterna. | + | För matrisavbildningar från $R^n$ till $R^n$ får man, som vi tidigare sett, inversa avbildningen genom att invertera matrisen. (Se exempel 7). Glöm inte heller att en geometrisk tolkning av den avbildning matrisen beskriver ibland gör att man direkt inser vad inversen skall vara. Inversen skall "ta ut" ursprungsavbildningen. Om $T$ är vridning $17$ radianer kring $z$-axeln moturs sett från axelns spets, så är $T{-1}$ vridning $17$ radianer kring $z$-axeln medurs sett från axelns spets. Ett exempel på att hitta invers utan att använda vare sig matrisinvertering eller geometrisk tolkning kan du läsa om i exempel 6. Dock skall vi se i nästa avsnitt att varje linjär avbildning faktiskt kan beskrivas med matris så det är viktigast att kunna metoden i exempel 7. Läs nu hela avsnitt 8.3 och arbeta med uppgifterna. |
Nuvarande version
[redigera] 8.1 Linjära avbildningar mellan vektorrum
Vi har tidigare sett på linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$. I detta kapitel skall vi se på linjära avbildningar mellan två godtyckliga vektorrum. Vad gäller linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ definierade vi dem som avbildningar som kan beskrivas som multiplikation med en $m \times n$-matris. Sedan såg vi (sats 4.3.2) att detta är ekvivalent med att avbildningen $T$ har de två egenskaperna
$T(u+v)=T(u)+T(v)$ och $T(\alpha u)=\alpha T(u)$, för alla vektorer $u,v$ och alla reella tal $\alpha$.
För $T:V \rightarrow W$ där $V$ och $W$ är godtyckliga vektorrum tar vi de två egenskaperna ovan som definition på av att avbildningen $T$ är linjär. Läs igenom 8.1 fram till sats 8.1.1 så får du en rad viktiga exempel på linjära avbildningar och hur man kan arbeta med definitionen för att se om en avbildning är linjär. (Du kan dock hoppa över exempel 11-12 om du vill.) Sats 8.1.1 innehåller några egenskaper som linjära avbildningar. Särskilt den första, att nollvektorn alltid avbildas på nollvektorn, kan vara användbar om man vill visa att en avbildning inte är linjär.
Det som står från mitten på sidan 395 med tillhörande exempel 14 är mycket viktigt. Här visas att en linjär avbildning $T:V \rightarrow W$ är helt bestämd av $T(e_1), T(e_2), \ldots , T(e_n)$ där $e_1, e_2, \ldots , e_n$ är någon bas för $V$.
Resten av 8.1 handlar om sammansättning av linjära avbildningar. Det viktigaste är sats 8.1.2, att sammansättningen av två linjära avbildningar blir linjär. Lär dig beviset, det är inte svårt om man förstått vad linjär betyder.
Gör följande övningar i första hand:
- 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3, 8.1.4, 8.1.9 och 8.1.16
Det svar som inte finns i facit har du på länken svar på övningar i avsnitt 8.1
[redigera] 8.2 Noll- och värderum
De olika begrepp som vi tidigare använt för att beskriva linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ kan även användas för godtyckliga linjära avbidlningar. Om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så består dess nollrum (kernel på engelska) av alla vektorer i $V$ som avbildas på noll. $T$'s värderum (range på engelska) består av alla vektorer i $w \in W$ sådana att $w=T(v)$ för minst en vektor $v$ i $V$. Mad andra ord består värderummet av alla vektorer "som kommer ut ur" avbildningen. I boken visas att nollrummet är ett delrum av $V$ och att värderummet är ett delrum av $W$. Läs särskilt noga de två sista sidorna i avsnitt 8.2 som handlar om noll- och värderummets dimensioner och dimensionssatsen (sats 8.2.3) som är en av höjdpunkterna i grundläggande linjär algebra. Beviset för dimensionssatsen är kanske lite svårt, men har du möjlighet och lust är det väl värt tiden det tar att förstå det. Gör följande övningar i första hand:
- 8.2.3, 8.2.3, 8.2.7, 8.2.17, 8.2.21
[redigera] 8.3 Inversa linjära avbildningar
En linjär avbildning $T:V \rightarrow W$ kallas injektiv (one-to-one eller injective på engelska) om vi alltid har $T(u) \neq T(v)$ ifall $u \neq v$. Ett annat sätt att uttrycka det är att om man stoppar in två olika vektorer i $T$ får man också ut två olika vektorer. Man kan relativt enkelt visa att $T$ är injektiv om och endast om $T$'s nollrum består av endast nollvektorn. (sats 8.3.1) (Anmärkning: Man säger ibland att nollrummet är trivialt om det består av endast nollvektorn.) Från dimensionssatsen följer sedan i fallet $W=V$, det vill säga då $T$ är en avbildning från ett rum till samma rum, att $T$ är injektiv om och endast om $T$'s värderum är hela $V$. (sats 8.3.2).
Anledningen till att man intresserar sig för injektiva avbildningar (linjära eller andra) är att det ligger i sakens natur att det är just dessa avbildningar som har invers. Om två olika vektorer aldrig avbildas på samma vektor är det möjligt att gå baklänges: Till varje vektor $w$ i $T$'s värderum (Obs! bara i värderummet som inte alltid är hela $W$.) finns precis en vektor $v \in V$ sådan att $T(v)=w$. Detta ger en invers avbildning $T^{-1}: R(T) \rightarrow V$. ($R(T)$ är boken beteckning för värderummet till $T$.)
För matrisavbildningar från $R^n$ till $R^n$ får man, som vi tidigare sett, inversa avbildningen genom att invertera matrisen. (Se exempel 7). Glöm inte heller att en geometrisk tolkning av den avbildning matrisen beskriver ibland gör att man direkt inser vad inversen skall vara. Inversen skall "ta ut" ursprungsavbildningen. Om $T$ är vridning $17$ radianer kring $z$-axeln moturs sett från axelns spets, så är $T{-1}$ vridning $17$ radianer kring $z$-axeln medurs sett från axelns spets. Ett exempel på att hitta invers utan att använda vare sig matrisinvertering eller geometrisk tolkning kan du läsa om i exempel 6. Dock skall vi se i nästa avsnitt att varje linjär avbildning faktiskt kan beskrivas med matris så det är viktigast att kunna metoden i exempel 7. Läs nu hela avsnitt 8.3 och arbeta med uppgifterna.
Gör följande övningar i första hand:
- 8.3.1, 8.3.3
Har du tid över kan du göra även:
- 8.3.16
Till den sista finns Lösning av uppgift 8.3.16.
