Dag 23

Linjär algebra

Versionen från 13 juni 2007 kl. 16.09 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 13 juni 2007 kl. 16.44 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 18:		Rad 18:
	== 9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt ==		== 9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt ==
		+
		+
		+	I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler.

---

Versionen från 13 juni 2007 kl. 16.44

9.5 Kvadratiska former

En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2.

Exempel 1: $x^2+2xy+y^2$.

Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.

Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktligt.

Gör följande övningar i första hand:

• 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7. 9.5.9ab

Har du tid över kan du göra även:

• 9.5.3e, 9.5.11

9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt

I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler.

Gör följande övningar i första hand:

• 9.6.1

Har du tid över kan du göra även:

• 9.6.9, 9.6.11

9.7 Kvadratiska ytor

Gör följande övningar i första hand:

• 9.7.1

Har du tid över kan du göra även:

• 9.7.5, 9.7.7, 9.7.9