Dag 2
Linjär algebra
| Versionen från 30 maj 2007 kl. 13.51 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (4 juni 2007 kl. 13.55) (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) |
||
| (20 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Läs första stycket i Avsnitt 3.1 till att börja med. | + | == 2 Komplexa tal == |
| - | == 2.2 Andragradsekvationer med komplexa koefficienter == | + | För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall kunna bevisa minst två av dem för dig själv. Kanhända är beviset av Sats 2.7 för invecklat, men ansträng dig för att förstå beviset av Följdsats 2.8. |
| - | Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9. | + | ''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska). |
| - | == 3.1 Polynom och faktorsatsen == | + | Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9. |
| + | För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$. | ||
| + | ''Kommentar''. Beviset av den så kallade '''de Moivres formel''', som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$. | ||
| - | Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand: | + | |
| - | * 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.11-2.12 | + | Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand: |
| + | * 2.1, 2.2, 2.7, 2.8, 2.11, 2.12 | ||
| Har du tid över kan du göra även: | Har du tid över kan du göra även: | ||
| - | * 2.4, 2.6, 2.9 | + | * 2.3 [se Exempel 2.6 för att lösa den sista], 2.6, 2.9, 2.13 [löses som i Exempel 2.13] |
Nuvarande version
[redigera] 2 Komplexa tal
För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall kunna bevisa minst två av dem för dig själv. Kanhända är beviset av Sats 2.7 för invecklat, men ansträng dig för att förstå beviset av Följdsats 2.8.
Kommentar. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).
Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade pq-formeln. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.
För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta n och w med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.
Kommentar. Beviset av den så kallade de Moivres formel, som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.
Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand:
- 2.1, 2.2, 2.7, 2.8, 2.11, 2.12
Har du tid över kan du göra även:
- 2.3 [se Exempel 2.6 för att lösa den sista], 2.6, 2.9, 2.13 [löses som i Exempel 2.13]
