Dag 4
Linjär algebra
| Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.09 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (5 juni 2007 kl. 15.14) (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) |
||
| (4 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
| Något förenklat kan man säga att den linjära algebran handlar om att översätta geometriska problem till algebraiska och vice versa. Det visar sig att en mycket stor del av de geometriska problem vi kommer att intressera oss för kan översättas till frågor om så kallade linjära ekvationssystem. | Något förenklat kan man säga att den linjära algebran handlar om att översätta geometriska problem till algebraiska och vice versa. Det visar sig att en mycket stor del av de geometriska problem vi kommer att intressera oss för kan översättas till frågor om så kallade linjära ekvationssystem. | ||
| - | En linjär ekvation i $n$ obekanta är en ekvation som kan skrivas på formen $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ \cdots +a_{n-1}x_{n-1}+a_nx_n=0 $. Några exempel på linjära ekvationer i 3 variabler är $ 5x_1+17x_2-12x_3=0 $ och $\sqrt{5}x-y+\pi z=0$. Ekvationen $\sqrt{x_1}+x_2-x_3=0$ är däremot inte linjär. Skriv nu upp två egna exempel på linjära och icke-linjära ekvationer innan du läser vidare. Läs sedan igenom sidorna 1-3 (tom exempel 2)i boken. Lös övning 1.1.3 (a) och (c) som en kontroll på att du förstått det du har läst. Välj parametern som beskriver svaret på 1.1.3 (a) på två olika sätt och fundera på vilket samband som finns mellan dina två parametrar (på liknande sätt som görs i exempel 2(a), sid 2-3). | + | En linjär ekvation i $n$ obekanta är en ekvation som kan skrivas på formen $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ \cdots +a_{n-1}x_{n-1}+a_nx_n=0 $. Några exempel på linjära ekvationer i 3 variabler är $ 5x_1+17x_2-12x_3=0 $ och $\sqrt{5}x-y+\pi z=0$. Ekvationen $\sqrt{x_1}+x_2-x_3=0$ är däremot inte linjär. Skriv nu upp två egna exempel på linjära och icke-linjära ekvationer innan du läser vidare. Läs sedan igenom sidorna 1-3 (tom exempel 2) i boken. |
| - | Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning linjära ekvationer. För att en uppsättning värden $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ skall räknas som en lösning till systemet krävs att alla ekvationer är uppfyllda om man sätter $x_1=a_1, x_2=a_2$ osv. Längre fram i kursen kommer vi att visa att varje linjärt ekvationssystem har antingen ingen, en eller oändligt många lösningar. För system med två obekanta är detta detsamma som att säga att det för att antal linjer i planet finns antingen inga, en eller oändligt många punkter där de alla strålar samman. Ge exempel på dessa tre olika fall. Läs sedan resten av avsnitt 1.1 i boken och lös övningarna 1.1.7 och 1.1.8. Det tar ofta en stund att förstå nya matematiska begrepp, så det kanske tar ett tag innan du kommer på lösningen. När du känner dig säker på svaret kan du jämföra med lösningarna på nätet: Klicka på länken [http://www.justask4u.com/csp/ELA9/EFramesetMain.csp?CSPCHD=00000001000g31lzdlOb003027314678], välj "Browse by chapters" i menyn i vänsterkanten och sedan kapitel 1, avsnitt 1, samt klicka på det problem du vill se lösningen av. Om du skulle köra fast helt i dina lösningsförsök så kan du också hitta tips på nätsidorna ovan. | + | Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning linjära ekvationer. För att en uppsättning värden $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ skall räknas som en lösning till systemet krävs att alla ekvationer är uppfyllda om man sätter $x_1=a_1, x_2=a_2$ osv. Längre fram i kursen kommer vi att visa att varje linjärt ekvationssystem har antingen ingen, en eller oändligt många lösningar. För system med två obekanta är detta detsamma som att säga att det för att antal linjer i planet finns antingen inga, en eller oändligt många punkter där de alla strålar samman. Ge exempel på dessa tre olika fall. Läs sedan resten av avsnitt 1.1 i boken. Det tar ofta en stund att förstå nya matematiska begrepp, så det kanske tar ett tag innan du kommer på lösningen. När du känner dig säker på svaret kan du jämföra med lösningarna på nätet: Klicka på länken [http://www.justask4u.com/csp/ELA9/EFramesetMain.csp?CSPCHD=00000001000g31lzdlOb003027314678], välj "Browse by chapters" i menyn i vänsterkanten och sedan kapitel 1, avsnitt 1, samt klicka på det problem du vill se lösningen av. Om du skulle köra fast helt i dina lösningsförsök så kan du också hitta tips på nätsidorna ovan. |
| + | |||
| + | |||
| + | Gör följande övningar i första hand: | ||
| + | * 1.1.3ac [välj parametern som beskriver svaret på 1.1.3a på två olika sätt och fundera på vilket samband som finns mellan dina två parametrar, på liknande sätt som görs i exempel 2(a), sid 2-3] | ||
| + | |||
| + | Har du tid över kan du göra även: | ||
| + | * 1.1.7, 1.1.8 | ||
| == 1.2 Gausselimination == | == 1.2 Gausselimination == | ||
| - | En trevlig egenskap hos linjära ekvationssystem är att det finns en algoritm för att lösa dem, dvs en metod som för varje ekvationssystem består av ett ändligt antal steg. Den vanligaste metoden kallas Gausselimination och beskrivs i avsnitt 1.2. Man lär sig metoden bäst genom övning så jag föreslår att du först läser igenom avsnitt 1.1 och sedan löser uppgifterna 1.2.6abc, 1.2.7ab, 1.2.8abcd, 1.2.13c. När du har klarat av dem kan du, om du har tid över, lösa 1.2.12ab och 1.2.17. Till det sista problemet kan du hitta lösningar och tips på nätsidan på samma sätt som beskrivs oven i anvisningarna till avsnitt 1.1. Som du kommer att märka tar det tid och kräver stor noggrannhet att lösa linjära ekvationssystem för hand. Normalt använder man datorer för att ta fram lösningen, men det är mycket viktigt att förstå hur det går till, vilket man lär sig vid handräkning. Denna förståelse krävs för att kunna programmera en dator till att lösa linjära ekvationssystem. Dessutom ger insikt i metoden intressant kunskap som sats 1.2.1: Att ett homgent system med fler obekanta en ekvationer alltid har ett oändligt antal lösningar. Har man förstått processen vid Gausselimination blir denna sats nästan självklar. | + | En trevlig egenskap hos linjära ekvationssystem är att det finns en algoritm för att lösa dem, dvs en metod som för varje ekvationssystem består av ett ändligt antal steg. Den vanligaste metoden kallas Gausselimination och beskrivs i avsnitt 1.2. Man lär sig metoden bäst genom övning så jag föreslår att du först läser igenom avsnitt 1.1 och sedan löser de första övningarna. Som du kommer att märka tar det tid och kräver stor noggrannhet att lösa linjära ekvationssystem för hand. Normalt använder man datorer för att ta fram lösningen, men det är mycket viktigt att förstå hur det går till, vilket man lär sig vid handräkning. Denna förståelse krävs för att kunna programmera en dator till att lösa linjära ekvationssystem. Dessutom ger insikt i metoden intressant kunskap som sats 1.2.1: Att ett homogent system med fler obekanta en ekvationer alltid har ett oändligt antal lösningar. Har man förstått processen vid Gausselimination blir denna sats nästan självklar. |
| + | |||
| + | Gör följande övningar i första hand: | ||
| + | * 1.2.6abc, 1.2.7ab, 1.2.8abcd, 1.2.13c | ||
| + | |||
| + | Har du tid över kan du göra även: | ||
| + | * 1.2.12ab, 1.2.17 [till detta problem kan du hitta lösningar och tips på nätsidan på samma sätt som beskrivs i anvisningarna till avsnitt 1.1] | ||
Nuvarande version
[redigera] 1.1 Linjära ekvationsystem och matriser
Något förenklat kan man säga att den linjära algebran handlar om att översätta geometriska problem till algebraiska och vice versa. Det visar sig att en mycket stor del av de geometriska problem vi kommer att intressera oss för kan översättas till frågor om så kallade linjära ekvationssystem.
En linjär ekvation i $n$ obekanta är en ekvation som kan skrivas på formen $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ \cdots +a_{n-1}x_{n-1}+a_nx_n=0 $. Några exempel på linjära ekvationer i 3 variabler är $ 5x_1+17x_2-12x_3=0 $ och $\sqrt{5}x-y+\pi z=0$. Ekvationen $\sqrt{x_1}+x_2-x_3=0$ är däremot inte linjär. Skriv nu upp två egna exempel på linjära och icke-linjära ekvationer innan du läser vidare. Läs sedan igenom sidorna 1-3 (tom exempel 2) i boken.
Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning linjära ekvationer. För att en uppsättning värden $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ skall räknas som en lösning till systemet krävs att alla ekvationer är uppfyllda om man sätter $x_1=a_1, x_2=a_2$ osv. Längre fram i kursen kommer vi att visa att varje linjärt ekvationssystem har antingen ingen, en eller oändligt många lösningar. För system med två obekanta är detta detsamma som att säga att det för att antal linjer i planet finns antingen inga, en eller oändligt många punkter där de alla strålar samman. Ge exempel på dessa tre olika fall. Läs sedan resten av avsnitt 1.1 i boken. Det tar ofta en stund att förstå nya matematiska begrepp, så det kanske tar ett tag innan du kommer på lösningen. När du känner dig säker på svaret kan du jämföra med lösningarna på nätet: Klicka på länken [1], välj "Browse by chapters" i menyn i vänsterkanten och sedan kapitel 1, avsnitt 1, samt klicka på det problem du vill se lösningen av. Om du skulle köra fast helt i dina lösningsförsök så kan du också hitta tips på nätsidorna ovan.
Gör följande övningar i första hand:
- 1.1.3ac [välj parametern som beskriver svaret på 1.1.3a på två olika sätt och fundera på vilket samband som finns mellan dina två parametrar, på liknande sätt som görs i exempel 2(a), sid 2-3]
Har du tid över kan du göra även:
- 1.1.7, 1.1.8
[redigera] 1.2 Gausselimination
En trevlig egenskap hos linjära ekvationssystem är att det finns en algoritm för att lösa dem, dvs en metod som för varje ekvationssystem består av ett ändligt antal steg. Den vanligaste metoden kallas Gausselimination och beskrivs i avsnitt 1.2. Man lär sig metoden bäst genom övning så jag föreslår att du först läser igenom avsnitt 1.1 och sedan löser de första övningarna. Som du kommer att märka tar det tid och kräver stor noggrannhet att lösa linjära ekvationssystem för hand. Normalt använder man datorer för att ta fram lösningen, men det är mycket viktigt att förstå hur det går till, vilket man lär sig vid handräkning. Denna förståelse krävs för att kunna programmera en dator till att lösa linjära ekvationssystem. Dessutom ger insikt i metoden intressant kunskap som sats 1.2.1: Att ett homogent system med fler obekanta en ekvationer alltid har ett oändligt antal lösningar. Har man förstått processen vid Gausselimination blir denna sats nästan självklar.
Gör följande övningar i första hand:
- 1.2.6abc, 1.2.7ab, 1.2.8abcd, 1.2.13c
Har du tid över kan du göra även:
- 1.2.12ab, 1.2.17 [till detta problem kan du hitta lösningar och tips på nätsidan på samma sätt som beskrivs i anvisningarna till avsnitt 1.1]
