Dag 23
Linjär algebra
| Versionen från 13 juni 2007 kl. 17.38 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (13 juni 2007 kl. 18.33) (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) |
||
| (4 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
| Gör följande övningar i första hand: | Gör följande övningar i första hand: | ||
| - | * 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7. 9.5.9ab | + | * 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7, 9.5.9ab |
| Har du tid över kan du göra även: | Har du tid över kan du göra även: | ||
| * 9.5.3e, 9.5.11 | * 9.5.3e, 9.5.11 | ||
| Rad 26: | Rad 26: | ||
| Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1. | Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1. | ||
| - | + | Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$ ($y^2=kx$). Dessa kurvor kallas kägelsnitt. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5. | |
| + | Får man en ekvation i två variabler som innehåller en kvadratisk form och linjära termer, tar man först hand om den kvadratiska formen och tillämpar sedan det koordinatbyte, som man får från diagonaliseringsprocessen, på de linjära termerna. Sedan är det bara att kontrollera vilken av de tre kägelsnitten man har fått. Ekvationen för kurvan, som innehåller bara kvadrater och eventuellt en linjär term, kallas kurvans ekvation på huvudaxelform. Läs nu noga from exempel 2 och lös övningarna. | ||
| Gör följande övningar i första hand: | Gör följande övningar i första hand: | ||
| - | * 9.6.1 | + | * 9.6.1abd, 9.6.3, 9.6.5, 9.6.7ade |
| Har du tid över kan du göra även: | Har du tid över kan du göra även: | ||
| * 9.6.9, 9.6.11 | * 9.6.9, 9.6.11 | ||
| Rad 37: | Rad 38: | ||
| == 9.7 Kvadratiska ytor == | == 9.7 Kvadratiska ytor == | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Allt som gjordes i förra avsnittet kan generaliseras till en andragradsekvation i tre variabler: man tar hand om den kvadratiska formen med hjälp av diagonalisering, byter till nya variabler och får en ekvation med enbart kvadrater samt eventuellt en linjär term. Den nya ekvationen blir då någon av formerna i rutan efter exempel 2. Försök inte att lära dig namnen på de sex typerna av ytor, utan studera dem genom att sätta en variabel i taget till att vara lika med noll och på det sättet bilda dig en uppfattning om hur ytan bör se ut. | ||
| Gör följande övningar i första hand: | Gör följande övningar i första hand: | ||
| - | * 9.7.1 | + | * 9.7.1, 9.7.3 |
| - | Har du tid över kan du göra även: | + | Har du tid över kan du göra: |
| - | * 9.7.5, 9.7.7, 9.7.9 | + | * 9.7.7(två valfria), 9.7.9 |
Nuvarande version
[redigera] 9.5 Kvadratiska former
En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2.
Exempel 1: $x^2+2xy+y^2$.
Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.
Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktligt.
Gör följande övningar i första hand:
- 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7, 9.5.9ab
Har du tid över kan du göra även:
- 9.5.3e, 9.5.11
[redigera] 9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt
I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem. Att enbart ha kvadrattermer utan blandade andragradstermer i en kvadratisk form är bra för att avgöra vilken av de tre typerna av kurvor, som en andragradsekvation representerar.
Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=\big(\frac{x+y}{\sqrt 2}\big)^2-\big(\frac{x-y}{\sqrt 2}\big)^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi därför $2xy=(x')^2-(y')^2$.
Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.
Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$ ($y^2=kx$). Dessa kurvor kallas kägelsnitt. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5.
Får man en ekvation i två variabler som innehåller en kvadratisk form och linjära termer, tar man först hand om den kvadratiska formen och tillämpar sedan det koordinatbyte, som man får från diagonaliseringsprocessen, på de linjära termerna. Sedan är det bara att kontrollera vilken av de tre kägelsnitten man har fått. Ekvationen för kurvan, som innehåller bara kvadrater och eventuellt en linjär term, kallas kurvans ekvation på huvudaxelform. Läs nu noga from exempel 2 och lös övningarna.
Gör följande övningar i första hand:
- 9.6.1abd, 9.6.3, 9.6.5, 9.6.7ade
Har du tid över kan du göra även:
- 9.6.9, 9.6.11
[redigera] 9.7 Kvadratiska ytor
Allt som gjordes i förra avsnittet kan generaliseras till en andragradsekvation i tre variabler: man tar hand om den kvadratiska formen med hjälp av diagonalisering, byter till nya variabler och får en ekvation med enbart kvadrater samt eventuellt en linjär term. Den nya ekvationen blir då någon av formerna i rutan efter exempel 2. Försök inte att lära dig namnen på de sex typerna av ytor, utan studera dem genom att sätta en variabel i taget till att vara lika med noll och på det sättet bilda dig en uppfattning om hur ytan bör se ut.
Gör följande övningar i första hand:
- 9.7.1, 9.7.3
Har du tid över kan du göra:
- 9.7.7(två valfria), 9.7.9
