Dag 11

Linjär algebra

Versionen från 6 juni 2007 kl. 14.48 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 6 juni 2007 kl. 14.49 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 23:		Rad 23:
	De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan [[svar till övningar på avsnitt 4.1]].		De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan [[svar till övningar på avsnitt 4.1]].
		+
		+
		+	4.2 Linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$

---

Versionen från 6 juni 2007 kl. 14.49

4.1 Det $n$-dimensionella euklidiska rummet

För vektorer i rummet har vi sett att om vi bestämmer oss för ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering så kan vi istället för en vektor använda vektorns koordinater och räkna direkt med dem. På så vis kan vi enkelt beräkna till exempel summan, skalärprodukten och vektorprodukten av två vektorer med olika formler. I rummet har varje vektor tre koordinater, men samma vis att räkna på kan användas även för större antal koordinater. (Dock finns ingen formel för vektorprodukt i andra dimensioner än tre.) I avsnitt 4.1 beskrivs mer i detalj hur detta går till. Koordinatformeln för skalärprodukt kan på naturligt sätt utvidgas till att gälla $n$-tupler:

Om $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ och $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ så definierar vi $x \cdot y=x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$.

Mängden av $n$-tupler med addition, multiplikation med reellt tal och skalärprodukt definierat med koordinatformler som beskrivs ovan kallas $R^n$ eller det $n$-dimensionella euklidiska rummet.

Med hjälp av skalärprodukten kan man sedan definiera längden av en vektor och därmed även avståndet mellan två punkter. Man kan sedan visa att Pythagoras sats och triangelolikheten gåller också i $R^n$.

Lite vid sidan om det övriga innehållet i avsnittet är beskrivningen på sidorna 176 och 177 av hur skalärprodukt kan fås genom en matrismultiplikation och hur produkten av två matriser $AB$ på varje position innehåller en skalärprodukt av en rad från $A$ och en kolumn från $B$. Detta är ibland ett mycket användbart sätt att se matrismultiplikation på som till en början kan vara lite svårt att greppa. Återkom gärna till dessa sidor senare om du inte förstår de riktigt nu.

Nu är det dags för en noggrann genomläsning av 4.1 och övningsräkning:

Gör följande övningar i första hand:

   * 4.1.1acf, 4.1.3, 4.1.4, 4.1.5cd, 4.1.6ac, 4.1.9cd, 4.1.11cd, 4.1.14bdf

Om du får tid över kan du även göra:

   * 4.1.16, 4.1.24 och 4.1.26.

De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan svar till övningar på avsnitt 4.1.

4.2 Linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$