Dag 9
Linjär algebra
| Versionen från 6 juni 2007 kl. 17.18 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) (→3.3 Skalärprodukt och projektion) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 6 juni 2007 kl. 17.19 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) (→3.1 Introduktion till vektorer) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
| Man kan alltså tänka på en vektor $\bf v$ i planet som en riktad sträcka. Om denna sträcka har startpunkt $A$ och slutpunkt $B$ så skriver man ofta ${\bf v}=\vec{AB}$. Vad som är mycket viktigt att hålla i minnet är dock att olika riktade sträckor representerar samma vektor om deras längder och riktningar är lika. Exempelvis har vi att om $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $C=(6,-2)$ och $D=(8,-1)$ så är $\vec{AB}=\vec{CD}$. (Pricka in punkterna $A, B, C$ och $D$ i ett koordinatsystem och rita ut $AB$ och $CD$ för att kontrollera detta!) | Man kan alltså tänka på en vektor $\bf v$ i planet som en riktad sträcka. Om denna sträcka har startpunkt $A$ och slutpunkt $B$ så skriver man ofta ${\bf v}=\vec{AB}$. Vad som är mycket viktigt att hålla i minnet är dock att olika riktade sträckor representerar samma vektor om deras längder och riktningar är lika. Exempelvis har vi att om $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $C=(6,-2)$ och $D=(8,-1)$ så är $\vec{AB}=\vec{CD}$. (Pricka in punkterna $A, B, C$ och $D$ i ett koordinatsystem och rita ut $AB$ och $CD$ för att kontrollera detta!) | ||
| - | Två vektorer $\bf u$ och $\bf v$ kan adderas på följande sätt: Rita upp ${\bf u}=\vec{AB}$ med början i en valfri punkt $A$. Rita sedan ${\bf v}=\vec{BC}$ med startpunkt i $\bf u$s slutpunkt. De båda vektorerna summa $\bf u+v$ definieras då som $\vec{AC}$, diagonalen i den parallellogram som har $\bf u$ och $\bf v$ som sidor. (Rita figur!) Genom att rita upp parallellogrammen ser man också tydligt att vektoraddition är kommutativ, dvs att $\bf u+v=v+u$. Man kan också definiera vad som menas med $t\bf v$, där $t$ är ett reellt tal och $\bf v$ en vektor. | + | Två vektorer $\bf u$ och $\bf v$ kan adderas på följande sätt: Rita upp ${\bf u}=\vec{AB}$ med början i en valfri punkt $A$. Rita sedan ${\bf v}=\vec{BC}$ med startpunkt i $\bf u$s slutpunkt. De båda vektorernas summa $\bf u+v$ definieras då som $\vec{AC}$, diagonalen i den parallellogram som har $\bf u$ och $\bf v$ som sidor. (Rita figur!) Genom att rita upp parallellogrammen ser man också tydligt att vektoraddition är kommutativ, dvs att $\bf u+v=v+u$. Man kan också definiera vad som menas med $t\bf v$, där $t$ är ett reellt tal och $\bf v$ en vektor. |
| Definitionerna ovan är viktiga, men oftast opraktiska för räkningar. Vi skall därför beskriva våra vektorer på ett nytt sätt som gör att de mycket enkelt kan adderas och multipliceras med reella tal. I planet (eller i rummet) lägger vi in ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering. Givet en vektor $\bf v$ ritar vi ut den riktade sträcka som börjar i origo och representerar $\bf v$. Slutpunkten för sträckan har koordinater $(a,b)$ (eller $(a,b,c)$ i rummet) och dessa koordinater beskriver $\bf v$ fullständigt. Vi skriver därför ofta ${\bf v}=(a,b)$ (eller ${\bf v}=(a,b,c)$ i rummet). Det visar sig då att vektoraddition fugerar på så sätt att ${\bf v}=(a,b)$ och ${\bf u}=(c,d)$ ger ${\bf u+v}=(a+c,b+d)$ och att $t{\bf v}=(ta,tb)$. | Definitionerna ovan är viktiga, men oftast opraktiska för räkningar. Vi skall därför beskriva våra vektorer på ett nytt sätt som gör att de mycket enkelt kan adderas och multipliceras med reella tal. I planet (eller i rummet) lägger vi in ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering. Givet en vektor $\bf v$ ritar vi ut den riktade sträcka som börjar i origo och representerar $\bf v$. Slutpunkten för sträckan har koordinater $(a,b)$ (eller $(a,b,c)$ i rummet) och dessa koordinater beskriver $\bf v$ fullständigt. Vi skriver därför ofta ${\bf v}=(a,b)$ (eller ${\bf v}=(a,b,c)$ i rummet). Det visar sig då att vektoraddition fugerar på så sätt att ${\bf v}=(a,b)$ och ${\bf u}=(c,d)$ ger ${\bf u+v}=(a+c,b+d)$ och att $t{\bf v}=(ta,tb)$. | ||
| Rad 14: | Rad 14: | ||
| Gör följande övningar i första hand: | Gör följande övningar i första hand: | ||
| * 3.1.3abe, 3.1.6abf, 3.1.7, 3.1.8, 3.1.11 [e svar som inte finns i bokens facit kan du läsa på [[svar på övningarna 3.1.7 och 3.1.11]] ] | * 3.1.3abe, 3.1.6abf, 3.1.7, 3.1.8, 3.1.11 [e svar som inte finns i bokens facit kan du läsa på [[svar på övningarna 3.1.7 och 3.1.11]] ] | ||
| - | |||
| == 3.2 Vektorräkning och beräkning av längden av en vektor == | == 3.2 Vektorräkning och beräkning av längden av en vektor == | ||
Versionen från 6 juni 2007 kl. 17.19
3.1 Introduktion till vektorer
Vektorer är ett av matematikens allra mest användbara begrepp. En vektor är en riktning tillsammans med en längd. Du har säkert redan stött på vektorer i gymnasiefysiken där man exempelvis beskriver krafter med hjälp av vektorer. En kraft brukar markeras med en pil som pekar i kraftens riktining och vars längd anger kraftens styrka.
Man kan alltså tänka på en vektor $\bf v$ i planet som en riktad sträcka. Om denna sträcka har startpunkt $A$ och slutpunkt $B$ så skriver man ofta ${\bf v}=\vec{AB}$. Vad som är mycket viktigt att hålla i minnet är dock att olika riktade sträckor representerar samma vektor om deras längder och riktningar är lika. Exempelvis har vi att om $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $C=(6,-2)$ och $D=(8,-1)$ så är $\vec{AB}=\vec{CD}$. (Pricka in punkterna $A, B, C$ och $D$ i ett koordinatsystem och rita ut $AB$ och $CD$ för att kontrollera detta!)
Två vektorer $\bf u$ och $\bf v$ kan adderas på följande sätt: Rita upp ${\bf u}=\vec{AB}$ med början i en valfri punkt $A$. Rita sedan ${\bf v}=\vec{BC}$ med startpunkt i $\bf u$s slutpunkt. De båda vektorernas summa $\bf u+v$ definieras då som $\vec{AC}$, diagonalen i den parallellogram som har $\bf u$ och $\bf v$ som sidor. (Rita figur!) Genom att rita upp parallellogrammen ser man också tydligt att vektoraddition är kommutativ, dvs att $\bf u+v=v+u$. Man kan också definiera vad som menas med $t\bf v$, där $t$ är ett reellt tal och $\bf v$ en vektor.
Definitionerna ovan är viktiga, men oftast opraktiska för räkningar. Vi skall därför beskriva våra vektorer på ett nytt sätt som gör att de mycket enkelt kan adderas och multipliceras med reella tal. I planet (eller i rummet) lägger vi in ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering. Givet en vektor $\bf v$ ritar vi ut den riktade sträcka som börjar i origo och representerar $\bf v$. Slutpunkten för sträckan har koordinater $(a,b)$ (eller $(a,b,c)$ i rummet) och dessa koordinater beskriver $\bf v$ fullständigt. Vi skriver därför ofta ${\bf v}=(a,b)$ (eller ${\bf v}=(a,b,c)$ i rummet). Det visar sig då att vektoraddition fugerar på så sätt att ${\bf v}=(a,b)$ och ${\bf u}=(c,d)$ ger ${\bf u+v}=(a+c,b+d)$ och att $t{\bf v}=(ta,tb)$.
Läs nu igenom avsnitt 3.1 för att få lite exempel på det som beskrivits här och försök sedan själv använda idéerna vid lösning av övningarna.
Gör följande övningar i första hand:
- 3.1.3abe, 3.1.6abf, 3.1.7, 3.1.8, 3.1.11 [e svar som inte finns i bokens facit kan du läsa på svar på övningarna 3.1.7 och 3.1.11 ]
3.2 Vektorräkning och beräkning av längden av en vektor
I det här avsnittet lär vi oss vilka räknelagar som gäller för vektorer samt hur man beräknar längden (ibland kallad normen) av en vektor. Om ${\bf u}=(a,b,c)$ så är en representant för $\bf u$ den riktade sträcka som startar i origo (dvs punkten (0,0,0)) och slutar i punkten $(a,b,c)$. Med Pythagors sats kan vi beräkna längden av denna sträcka till $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Vi definierar därför längden av $\bf u$ som $||{\bf u}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Gör följande övningar i första hand:
- 3.2.1ae, 3.2.2ac, 3.2.3ade
Har du tid över kan du göra även:
- 3.2.7, 3.2.9
När du är klar kan du kolla på svar på övningarna 3.2.2ac och 3.2.7.
3.3 Skalärprodukt och projektion
I detta avsnitt introduceras skalärprodukten ${\bf u} \cdot {\bf v}$ av två vektorer $\bf u$ och $\bf v$. Definitionen av skalärprodukt är ${\bf u} \cdot {\bf v}=||{\bf u}|| ||{\bf v}|| \cos(\alpha)$ där $\alpha$ är vinkeln mellan vektorerna $\bf u$ och $\bf v$ om de ritas med gemensam startpunkt. (Egentligen finns det två vinklar att välja på men vi utgår från att $\alpha$ är den minsta av dem, det vill säga den som ligger mellan $0$ och $\pi$.) Skalärprodukten av två vektorer är alltså ett reellt tal (=en skalär, därav namnet) som säger något om vinkeln mellan vektorerna. Lägg märke till att ${\bf u} \cdot {\bf u} = (||{\bf u}||)^2$. (Varför?)
Man kan visa att det finns en enkel formel för skalärprodukten. Om ${\bf u}=(u_1,u_2,u_3)$ och ${\bf v}=(v_1,v_2,v_3)$ så är ${\bf u} \cdot {\bf v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$. På så vis kan man enkelt beräkna vinkeln mellan två vektorer om man har deras koordinater. (Se exempel 2 på sid 137.)
På grund av sin koppling till vinkeln mellan vektorerna är skalärprodukten ett lämpligt verktyg för att räkna ut projektioner, något som är nödvändigt i många geometriska problem. Givet två vektorer $\bf u$ och $\bf v$ så kan alltid $\bf u$ skrivas som en summa $\bf u=u_1+u_2$ där $u_1$ är paralllell med $\bf v$ och $\bf u_2$ vinkelrät mot $\bf v$. (Rita figur!) Vektorn $\bf u_1$ kallas (den vinkelräta) projektionen av $\bf u$ på $\bf v$ och ges av ${\bf u}_1=\frac{{\bf u} \cdot {\bf v}}{||{\bf v}||^2}{\bf v}$. (Har man väl räknat ut ${\bf u}_1$ kan man förstås få ${\bf u}_2$ genom $\bf u_2=u-u_1$ om man skulle vilja det.) Denna projektionformel är mycket användbar. Bland annat kan man med hjälp av den härleda en formel för avståndet mellan en linje och en punkt i planet. (Exempel 7 och 8 på sid 141-142.)
När du läst avsnitt 3.3 kan du öva dig på skalärprodukt genom att räkna de rekommenderade övningarna.
Gör följande övningar i första hand:
- 3.3.1ac, 3.3.2a, 3.3.3abc, 3.3.4a, 3.3.5a
Om du får tid över kan du även göra:
- 3.3.9, 3.3.11, 3.3.17.
De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns här.
