Svar till 7.1.23
Linjär algebra
| Versionen från 8 juni 2007 kl. 13.32 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (8 juni 2007 kl. 13.35) (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
| $\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$. | $\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$. | ||
| - | Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$. | + | Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^T$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$. |
| + | |||
| + | 7.1.23b) Visa att $A$ och $A^T$ inte (nödvändigvis) har samma egenrum. | ||
| + | |||
| + | Konstruera ett exempel på en matris $A$ och en vektor $x$ sådan att $x$ äre egenvektor till $A$ men inte till $A^T$. Man kan till exempel ta $A= \left( \begin{array}{c|c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ och $x= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ | ||
Nuvarande version
7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.
$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.
Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^T$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.
7.1.23b) Visa att $A$ och $A^T$ inte (nödvändigvis) har samma egenrum.
Konstruera ett exempel på en matris $A$ och en vektor $x$ sådan att $x$ äre egenvektor till $A$ men inte till $A^T$. Man kan till exempel ta $A= \left( \begin{array}{c|c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ och $x= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$
