Dag 15
Linjär algebra
| Versionen från 9 juni 2007 kl. 14.27 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) (Ny sida: == 5.5 Linjärt oberoende == Gör följande övningar i första hand: * 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7 Har du tid över kan du göra även: * 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19 [[S...) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 9 juni 2007 kl. 15.26 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | == 5.5 Linjärt oberoende == | + | == 5.5 Rad-, kolumn- och nollrum == |
| - | + | ||
| + | En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt. | ||
Versionen från 9 juni 2007 kl. 15.26
5.5 Rad-, kolumn- och nollrum
En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7
Har du tid över kan du göra även:
- 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19
5.6 Linjärt oberoende
En och samma vektor $\bf v$ i, säg, $R^3$ kan skrivas som linjär kombination av tre linjärt oberoende vektorer på ett unikt sätt. Om man däremot väljer fyra vektorer i $R^3$, kommer $\bf v$ att kunna skrivas som linjär kombination av dessa fyra på ett oändligt antal sätt. För att ha en unik representation, inför man en bas. En bas för ett vektorrum $V$ är alltså en uppsättning av linjärt oberoende vektorer, basvektorer, som genererar ("span" eller "generate" på engelska) $V$; det sistnämnda innebär att varje vektor ${\bf v}\in V$ kan på ett unikt sätt skrivas som en linjär kombination av basvektorerna. Läs nu definitionen, sats 5.4.1 och gärna dess bevis. Gå igenom alla exemplen, exempel 8 är dock överkurs. Sats 5.4.2 följer enkelt från egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Läs vidare tom exempel 10, texten efter det kan du läsa översiktligt.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.4.1, 5.4.3, 5.4.11
Har du tid över kan du göra även:
- 5.4.13, 5.4.17, 5.3.21
