Dag 18

Linjär algebra

Versionen från 10 juni 2007 kl. 10.04 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 10 juni 2007 kl. 10.11 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 4:		Rad 4:
	Givet ett linjärt ekvationssystem $A\bf x=b$ kan det hända att systemet saknar en lösning ${\bf x}=(x_1,\ldots ,x_n)$, men man kan vara intresserad av att hitta en approximativ lösning. Vad för sorts approximation man är ute efter är inte entydigt, eftersom man kan vara intresserad av att de absoluta felen i varje $x_i$ skall vara så små som möjligt eller att summan av felen skall minimeras eller $\ldots$ eller $\ldots$. Låt $\bf x'$ vara den approximativa lösningen och $A\bf x'=b'$. I detta avsnitt behandlar vi minstakvadratmetoden, där normen av vektorn $\bf b-b'$ skall minimieras.		Givet ett linjärt ekvationssystem $A\bf x=b$ kan det hända att systemet saknar en lösning ${\bf x}=(x_1,\ldots ,x_n)$, men man kan vara intresserad av att hitta en approximativ lösning. Vad för sorts approximation man är ute efter är inte entydigt, eftersom man kan vara intresserad av att de absoluta felen i varje $x_i$ skall vara så små som möjligt eller att summan av felen skall minimeras eller $\ldots$ eller $\ldots$. Låt $\bf x'$ vara den approximativa lösningen och $A\bf x'=b'$. I detta avsnitt behandlar vi minstakvadratmetoden, där normen av vektorn $\bf b-b'$ skall minimieras.
		+	Algoritmen är enkel:
		+	(1) Kontrollera om $A\bf x=b$ har en exakt lösning
		+	(2) Om inte, bilda normalekvationen $A^T A{\bf x}=A^Tb$
		+	(3) Lösningen till normalekvationen ger den approximativa lösningen till ursprungssystemet $A\bf x=b$.
		+	Varför algoritmen fungerar förklaras bäst med hjälp av bilder, varför vi hänvisar till läroboken. Läs tom exempel 2 och hoppas över resten, utom möjligen sats 6.4.5, som kompletterar ytterligare vår lista över egenskaper, som vi har samlat på oss sedan sats 1.5.3

---

Versionen från 10 juni 2007 kl. 10.11

6.4 Minstakvadratmetoden

Givet ett linjärt ekvationssystem $A\bf x=b$ kan det hända att systemet saknar en lösning ${\bf x}=(x_1,\ldots ,x_n)$, men man kan vara intresserad av att hitta en approximativ lösning. Vad för sorts approximation man är ute efter är inte entydigt, eftersom man kan vara intresserad av att de absoluta felen i varje $x_i$ skall vara så små som möjligt eller att summan av felen skall minimeras eller $\ldots$ eller $\ldots$. Låt $\bf x'$ vara den approximativa lösningen och $A\bf x'=b'$. I detta avsnitt behandlar vi minstakvadratmetoden, där normen av vektorn $\bf b-b'$ skall minimieras.

Algoritmen är enkel: (1) Kontrollera om $A\bf x=b$ har en exakt lösning (2) Om inte, bilda normalekvationen $A^T A{\bf x}=A^Tb$ (3) Lösningen till normalekvationen ger den approximativa lösningen till ursprungssystemet $A\bf x=b$.

Varför algoritmen fungerar förklaras bäst med hjälp av bilder, varför vi hänvisar till läroboken. Läs tom exempel 2 och hoppas över resten, utom möjligen sats 6.4.5, som kompletterar ytterligare vår lista över egenskaper, som vi har samlat på oss sedan sats 1.5.3

Gör följande övningar i första hand:

• 6.4.1, 6.4.3

Har du tid över kan du göra även:

• 6.4.5

6.5 Basbyte

Gör följande övningar i första hand:

• 6.5.1, 6.5.3, 6.5.4

Har du tid över kan du göra även:

• 6.5.10, 6.5.11

6.6 Ortogonala matriser

Gör följande övningar i första hand:

• 6.6.1, 6.6.3, 6.6.8

Har du tid över kan du göra även:

• 6.6.13, 6.6.15