Dag 10
Linjär algebra
| Versionen från 6 juni 2007 kl. 11.07 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) (Ny sida: 3.4 Vektorprodukt Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplika...) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 6 juni 2007 kl. 11.13 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$. | Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$. | ||
| + | |||
| + | Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $(u \times v) \times w$ och $u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$. | ||
Versionen från 6 juni 2007 kl. 11.13
3.4 Vektorprodukt
Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$.
Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $(u \times v) \times w$ och $u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.
