Dag 11
Linjär algebra
| Versionen från 6 juni 2007 kl. 12.44 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) (Ny sida: 4.1 Det Euklidiska $n$-dimensionella rummet) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 6 juni 2007 kl. 14.04 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | 4.1 Det Euklidiska $n$-dimensionella rummet | + | 4.1 Det $n$-dimensionella euklidiska rummet |
| + | |||
| + | För vektorer i rummet har vi sett att om vi bestämmer oss för ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering så kan vi istället för en vektor använda vektorns koordinater och räkna direkt med dem. På så vis kan vi enkelt beräkna till exempel summan, skalärprodukten och vektorprodukten av två vektorer med olika formler. I rummet har varje vektor tre koordinater, men samma vis att räkna på kan användas även för större antal koordinater. (Dock finns ingen formel för vektorprodukt i andra dimensioner än tre.) I avsnitt 4.1 beskrivs mer i detalj hur detta går till. Koordinatformeln för skalärprodukt kan på naturligt sätt utvidgas till att gälla $n$-tupler: | ||
| + | |||
| + | Om $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ och $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ så definierar vi $x \cdot y=x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$. | ||
| + | |||
| + | Mängden av $n$-tupler med addition, multiplikation med reellt tal och skalärprodukt definierat med koordinatformler som beskrivs ovan kallas $R^n$ eller det $n$-dimensionella euklidiska rummet. | ||
| + | |||
| + | Med hjälp av skalärprodukten kan man sedan definiera längden av en vektor och därmed även avståndet mellan två punkter. Man kan sedan visa att Pythagoras sats och triangelolikheten gåller också i $R^n$. | ||
Versionen från 6 juni 2007 kl. 14.04
4.1 Det $n$-dimensionella euklidiska rummet
För vektorer i rummet har vi sett att om vi bestämmer oss för ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering så kan vi istället för en vektor använda vektorns koordinater och räkna direkt med dem. På så vis kan vi enkelt beräkna till exempel summan, skalärprodukten och vektorprodukten av två vektorer med olika formler. I rummet har varje vektor tre koordinater, men samma vis att räkna på kan användas även för större antal koordinater. (Dock finns ingen formel för vektorprodukt i andra dimensioner än tre.) I avsnitt 4.1 beskrivs mer i detalj hur detta går till. Koordinatformeln för skalärprodukt kan på naturligt sätt utvidgas till att gälla $n$-tupler:
Om $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ och $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ så definierar vi $x \cdot y=x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$.
Mängden av $n$-tupler med addition, multiplikation med reellt tal och skalärprodukt definierat med koordinatformler som beskrivs ovan kallas $R^n$ eller det $n$-dimensionella euklidiska rummet.
Med hjälp av skalärprodukten kan man sedan definiera längden av en vektor och därmed även avståndet mellan två punkter. Man kan sedan visa att Pythagoras sats och triangelolikheten gåller också i $R^n$.
