Dag 6
Linjär algebra
| Versionen från 14 maj 2007 kl. 10.38 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 14 maj 2007 kl. 10.51 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| Några av de mest grundläggande egenskaperna hos reella tal är $\eqiv$ | Några av de mest grundläggande egenskaperna hos reella tal är $\eqiv$ | ||
| - | $\begin{} | + | $\begin{table} |
| - | \item ab=ba, multiplikation är kommutativ | + | (1) ab=ba, multiplikation är kommutativ |
| (2) a(bc)=(ab)c, multiplikation är associativ | (2) a(bc)=(ab)c, multiplikation är associativ | ||
| (3) a(b+c)=ab+ac, distributiva lagen | (3) a(b+c)=ab+ac, distributiva lagen | ||
| (4) Om ab=0 så är antingen a=0 eller b=0 | (4) Om ab=0 så är antingen a=0 eller b=0 | ||
| \end{itemize}$ | \end{itemize}$ | ||
| - | Den sista egenskapen är mycket viktig vid ekvationslösning. Det är till exempel den vi använder när vi sluter oss till att $x^2+px+q=0$ har lösningarn $x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. Resonemanget bakom är $x^2+px+q=0 \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}+q=0 \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}+q})((x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}) \Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$ | + | Den sista egenskapen är mycket viktig vid ekvationslösning. Det är till exempel den vi använder när vi sluter oss till att $x^2+px+q=0$ har lösningarn $x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. Resonemanget bakom är $x^2+px+q=0 \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}+q=0 \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}+q})((x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}+q})=0 \Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$ |
| + | I näst sista steget har vi använt konjugatregeln baklänges och i sista steget egenskap (4). | ||
| + | |||
| + | Så vad har detta med matrisräkning att göra? Jo, för matriser gäller (2) och (3) men ''inte'' (1) och (4). Att (1) inte kan gälla för matriser är egentligen ganska självklart för om A är en $n \times m$-matris (dvs en matris med $n$ rader och $m$ kolumner) och B är en $k \times l$-matris så måste $m=k$ för att AB skall vara definierad, och $l=n$ för att BA skall vara definierad. Det kan alltså mycket väl vara så att en av produkterna är definierad, men inte den andra. Då kan man förstås inte säga att de båda produkterna är lika. Men inte ens om båda produkterna är definierade och lika stora är det säkert att $AB=BA$. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med matriser. Att inte (4) gäller har att göra med att en produkt av två matriser kan bli 0 (dvs nollmatrisen) även om ingen av faktorerna är det. Som demonstrerats ovan betyder detta ekvationslösning med matriser inte helt och hållet kan göras som för reella tal. Läs nu sidorna 39-41 i boken för att se exempel på det du just läst här. Konstruera sedan två $3 \times 3$-matriser som inte kommuterar och två $2 \times 2$-matriser B och C sådana att $BC=0$, men $B \neq 0$ och $C \neq 0$ | ||
Versionen från 14 maj 2007 kl. 10.51
1.4 Inversa matriser och räkneregler för matriser
Några av de mest grundläggande egenskaperna hos reella tal är $\eqiv$ $\begin{table} (1) ab=ba, multiplikation är kommutativ (2) a(bc)=(ab)c, multiplikation är associativ (3) a(b+c)=ab+ac, distributiva lagen (4) Om ab=0 så är antingen a=0 eller b=0 \end{itemize}$ Den sista egenskapen är mycket viktig vid ekvationslösning. Det är till exempel den vi använder när vi sluter oss till att $x^2+px+q=0$ har lösningarn $x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. Resonemanget bakom är $x^2+px+q=0 \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}+q=0 \Leftrightarrow (x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}+q})((x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}+q})=0 \Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$ I näst sista steget har vi använt konjugatregeln baklänges och i sista steget egenskap (4).
Så vad har detta med matrisräkning att göra? Jo, för matriser gäller (2) och (3) men inte (1) och (4). Att (1) inte kan gälla för matriser är egentligen ganska självklart för om A är en $n \times m$-matris (dvs en matris med $n$ rader och $m$ kolumner) och B är en $k \times l$-matris så måste $m=k$ för att AB skall vara definierad, och $l=n$ för att BA skall vara definierad. Det kan alltså mycket väl vara så att en av produkterna är definierad, men inte den andra. Då kan man förstås inte säga att de båda produkterna är lika. Men inte ens om båda produkterna är definierade och lika stora är det säkert att $AB=BA$. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med matriser. Att inte (4) gäller har att göra med att en produkt av två matriser kan bli 0 (dvs nollmatrisen) även om ingen av faktorerna är det. Som demonstrerats ovan betyder detta ekvationslösning med matriser inte helt och hållet kan göras som för reella tal. Läs nu sidorna 39-41 i boken för att se exempel på det du just läst här. Konstruera sedan två $3 \times 3$-matriser som inte kommuterar och två $2 \times 2$-matriser B och C sådana att $BC=0$, men $B \neq 0$ och $C \neq 0$
