Dag 22
Linjär algebra
Versionen från 11 juni 2007 kl. 07.01 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) (Ny sida: == 8.4 Avbildningsmatriser == Gör följande övningar i första hand: * 8.4.1, 8.4.5, 8.4.9 Har du tid över kan du göra även: * 8.4.16 == 8.5 Similaritet == Gör följande övning...) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 11 juni 2007 kl. 10.42 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 1: | Rad 1: | ||
== 8.4 Avbildningsmatriser == | == 8.4 Avbildningsmatriser == | ||
+ | |||
+ | Vi skall i detta avsnitt se hur varje linjära avbildning mellan två ändligdimensionella vektorrum $V$ och $W$ kan beskrivas med matris. Tricket är att fixera en bas i vardera vektorrummet så att man sedan kan arbeta med koordinatvektorer istället för de ursprungliga vektorerna. Då kan man ta fram en matris som sådan att om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så fås koordinatvektorn för $T(v)$ genom att mulitplicera koordinatvektorn för $v$ med matrisen. Observera att hur matrisen ser ut beror på vilka baser man har valt. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med linjära avbildningar. Mer om det senare, först skall vi ta reda på hur matrisen ser ut. | ||
+ | |||
+ | Låt $T: V \rightarrow W$ vara en linjär avbildning, $B$ en bas i $V$ och $B'$ en bas i $W$. Om $[v]_B$ betecknar koordinatvektorn för $v$ i basen $B$ (repetera övre halvan av sidan 253 om du är det minsta osäker på vad som menas med detta!) så söker vi en matris $A$ sådan att | ||
+ | |||
+ | $A[v]_B=[T(v)]_{B'}$ | ||
+ | |||
+ | Om vi stoppar basvektorerna nummer $k$ från basen $B$ i detta samband ser vi att kolumn $k$ i $A$ måste bestå av $B'$-koordinaterna för bilden av denna basvektor. Du kan läsa en utförligare version av detta viktiga resonemang i boken. Matrisen $A$ betcknas i boken med $[T]_{B',B}$, eftersom man måste ange vilka baser man arbetar med för att matrisen skall ge en beskrivning av avbildningen $T$. | ||
+ | |||
+ | |||
Versionen från 11 juni 2007 kl. 10.42
8.4 Avbildningsmatriser
Vi skall i detta avsnitt se hur varje linjära avbildning mellan två ändligdimensionella vektorrum $V$ och $W$ kan beskrivas med matris. Tricket är att fixera en bas i vardera vektorrummet så att man sedan kan arbeta med koordinatvektorer istället för de ursprungliga vektorerna. Då kan man ta fram en matris som sådan att om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så fås koordinatvektorn för $T(v)$ genom att mulitplicera koordinatvektorn för $v$ med matrisen. Observera att hur matrisen ser ut beror på vilka baser man har valt. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med linjära avbildningar. Mer om det senare, först skall vi ta reda på hur matrisen ser ut.
Låt $T: V \rightarrow W$ vara en linjär avbildning, $B$ en bas i $V$ och $B'$ en bas i $W$. Om $[v]_B$ betecknar koordinatvektorn för $v$ i basen $B$ (repetera övre halvan av sidan 253 om du är det minsta osäker på vad som menas med detta!) så söker vi en matris $A$ sådan att
$A[v]_B=[T(v)]_{B'}$
Om vi stoppar basvektorerna nummer $k$ från basen $B$ i detta samband ser vi att kolumn $k$ i $A$ måste bestå av $B'$-koordinaterna för bilden av denna basvektor. Du kan läsa en utförligare version av detta viktiga resonemang i boken. Matrisen $A$ betcknas i boken med $[T]_{B',B}$, eftersom man måste ange vilka baser man arbetar med för att matrisen skall ge en beskrivning av avbildningen $T$.
Gör följande övningar i första hand:
- 8.4.1, 8.4.5, 8.4.9
Har du tid över kan du göra även:
- 8.4.16
8.5 Similaritet
Gör följande övningar i första hand:
- 8.5.5, 8.5.7