Dag 1

Linjär algebra

1.1 Notation och inledande logik

Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Delen om logik kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.

2 Komplexa tal

För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall förstå varför de är som de är. Detsamma gäller Satserna 2.7 och 2.8. Kommentar. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).

Läs första stycket i Avsnitt 3.1, innan du börjar med Avsnitt 2.2, som är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade pq-formeln. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.

För att tillgodogöra dig innehållet i avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta n och w med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$. Kommentar. Beviset av den så kallade de Moivres formel, som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.

Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand:

• 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.7, 2.8, 2.11, 2.12

Har du tid över kan du göra även:

• 2.4, 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13)