Dag 1

Linjär algebra

1 Induktion

Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.

Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.

När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.

1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal.

2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.

3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$.

Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:

• 1.1 eller 1.3. Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.

1.4 , 1.6, 1.7, 1.12

Har du tid över kan du göra även:

• 1.5. Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.

1.9, 1.10, 1.15