Dag 6
Linjär algebra
[redigera] 1.5 Elementarmatriser och en metod för att beräkna $A^{-1}$
En elementarmatris $E$ är en matris som fås genom att utföra en elementär radoperation (se definitionen på sid. 5 i läroboken) på enhetsmatrisen. Genom att multiplicera en matris $A$ med $E$ från vänster kan man sedan utföra samma elementära radoperation på $A$. Detta innebär att Gausselimination kan ses som multiplikation från vänster med en produkt av elementarmatriser. Om det går att finna en sådan elimination som resulterar i enhetsmatrisen så har man också hittat inversen till $A$ eftersom $E_kE_{k-1} \cdots E_3E_2E_1A=I$ medför att $E_kE_{k-1} \cdots E_3E_2E_1$ är invers till $A$. Läs detaljerna om detta i boken och titta särskilt noga på exempel 4 och 5, som du kommer att ha nytta av för att kunna lösa övningarna.
Gör följande övningar i första hand:
- 1.5.6abc, 1.5.8ad
Har du tid över kan du göra även:
- 1.5.10
[redigera] 1.6 Mer om ekvationssystem och inverterbarhet
Det här avsnittet bygger vidare på teorin för linjära ekvationssystem och innehåller flera viktiga satser. Här kommer beviset för att varje linjärt ekvationssytem har ingen, en eller oändligt många lösningar som utlovades i avsnitt 1.1. Dessutom visas att när man skall visa att $B$ är invers till $A$ så räcker det att kolla att $AB=I$ eller $BA=I$. Den viktigaste satsen är dock 1.6.4 som beskriver hur inverterbarhet av en kvadratisk matris $A$ hänger ihop med lösbarhet hos system $A\bf x=y$. I satsen radas ett antal ekvivalenta påståenden upp. Detta innebär att för en vissa matriser $A$ är alla sex påståendena i satsen sanna och föra andra matriser $A$ är alla sex falska. Det kan alltså inte vara så att några påståenden är sanna och några falska för samma matris.
Gör följande övningar i första hand:
- 1.6.1, 1.6.9abc
Har du tid över kan du göra även:
- 1.6.17 [för svar gå till Svar på övning 1.6.17 ]
[redigera] 1.7 Diagonala triangulära och symmetriska matriser
Detta avsnitt, som är relativt lättläst, beskriver tre speciella typer av kvadratiska matriser. En diagonal matris har bara nollor utanför diagonalen, en triangulär bara nollor ovanför (alternativt nedanför) diagonalen. En symmetrisk matris är oförändrad efter spegling i diagonalen, eller med andra ord $A^T=A$.
Gör följande övningar i första hand:
- 1.7.3, 1.7.10ab
Har du tid över kan du göra även:
- 1.7.11
