Svar till 7.1.23

Linjär algebra

7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.

$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.

Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^T$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.

7.1.23b) Visa att $A$ och $A^T$ inte (nödvändigvis) har samma egenrum.

Konstruera ett exempel på en matris $A$ och en vektor $x$ sådan att $x$ äre egenvektor till $A$ men inte till $A^T$. Man kan till exempel ta $A= \left( \begin{array}{c|c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ och $x= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$