Dag 21

Linjär algebra

8.1 Linjära avbildningar mellan vektorrum

Vi har tidigare sett på linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$. I detta kapitel skall vi se på linjära avbildningar mellan två godtyckliga vektorrum. Vad gäller linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ definierade vi dem som avbildningar som kan beskrivas som multiplikation med en $m \times n$-matris. Sedan såg vi (sats 4.3.2) att detta är ekvivalent med att avbildningen $T$ har de två egenskaperna

$T(u+v)=T(u)+T(v)$ och $T(\alpha u)=\alpha T(u)$, för alla vektorer $u,v$ och alla reella tal $\alpha$.

För $T:V \rightarrow W$ där $V$ och $W$ är godtyckliga vektorrum tar vi de två egenskaperna ovan som definition på av att avbildningen $T$ är linjär. Läs igenom 8.1 fram till sats 8.1.1 så får du en rad viktiga exempel på linjära avbildningar och hur man kan arbeta med definitionen för att se om en avbildning är linjär. (Du kan dock hoppa över exempel 11-12 om du vill.) Sats 8.1.1 innehåller några egenskaper som linjära avbildningar. Särskilt den första, att nollvektorn alltid avbildas på nollvektorn, kan vara användbar om man vill visa att en avbildning inte är linjär.

Det som står från mitten på sidan 395 med tillhörande exempel 14 är mycket viktigt. Här visas att en linjär avbildning $T:V \rightarrow W$ är helt bestämd av $T(e_1), T(e_2), \ldots , T(e_n)$ där $e_1, e_2, \ldots , e_n$ är någon bas för $V$.

Resten av 8.1 handlar om sammansättning av linjära avbildningar. Det viktigaste är sats 8.1.2, att sammansättningen av två linjära avbildningar blir linjär. Lär dig beviset, det är inte svårt om man förstått vad linjär betyder.

Gör följande övningar i första hand:

• 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3, 8.1.4, 8.1.9 och 8.1.16

Det svar som inte finns i facit har du på länken svar på övningar i avsnitt 8.1

8.2 Noll- och värderum

Gör följande övningar i första hand:

• 8.2.3, 8.2.3, 8.2.7

8.3 Inversa linjära avbildningar

Gör följande övningar i första hand:

• 8.3.1, 8.3.3

Har du tid över kan du göra även:

• 8.3.16