Dag 21

Linjär algebra

8.1 Linjära avbildningar mellan vektorrum

Vi har tidigare sett på linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$. I detta kapitel skall vi se på linjära avbildningar mellan två godtyckliga vektorrum. Vad gäller linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ definierade vi dem som avbildningar som kan beskrivas som multiplikation med en $m \times n$-matris. Sedan såg vi (sats 4.3.2) att detta är ekvivalent med att avbildningen $T$ har de två egenskaperna

$T(u+v)=T(u)+T(v)$ och $T(\alpha u)=\alpha T(u)$, för alla vektorer $u,v$ och alla reella tal $\alpha$.

För $T:V \rightarrow W$ där $V$ och $W$ är godtyckliga vektorrum tar vi de två egenskaperna ovan som definition på av att avbildningen $T$ är linjär. Läs igenom 8.1 fram till sats 8.1.1 så får du en rad viktiga exempel på linjära avbildningar och hur man kan arbeta med definitionen för att se om en avbildning är linjär. (Du kan dock hoppa över exempel 11-12 om du vill.) Sats 8.1.1 innehåller några egenskaper som linjära avbildningar. Särskilt den första, att nollvektorn alltid avbildas på nollvektorn, kan vara användbar om man vill visa att en avbildning inte är linjär.

Det som står från mitten på sidan 395 med tillhörande exempel 14 är mycket viktigt. Här visas att en linjär avbildning $T:V \rightarrow W$ är helt bestämd av $T(e_1), T(e_2), \ldots , T(e_n)$ där $e_1, e_2, \ldots , e_n$ är någon bas för $V$.

Resten av 8.1 handlar om sammansättning av linjära avbildningar. Det viktigaste är sats 8.1.2, att sammansättningen av två linjära avbildningar blir linjär. Lär dig beviset, det är inte svårt om man förstått vad linjär betyder.

Gör följande övningar i första hand:

• 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3, 8.1.4, 8.1.9 och 8.1.16

Det svar som inte finns i facit har du på länken svar på övningar i avsnitt 8.1

8.2 Noll- och värderum

De olika begrepp som vi tidigare använt för att beskriva linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ kan även användas för godtyckliga linjära avbidlningar. Om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så består dess nollrum (kernel på engelska) av alla vektorer i $V$ som avbildas på noll. $T$'s värderum (range på engelska) består av alla vektorer i $w \in W$ sådana att $w=T(v)$ för minst en vektor $v$ i $V$. Mad andra ord består värderummet av alla vektorer "som kommer ut ur" avbildningen. I boken visas att nollrummet är ett delrum av $V$ och att värderummet är ett delrum av $W$. Läs särskilt noga de två sista sidorna i avsnitt 8.2 som handlar om noll- och värderummets dimensioner och dimensionssatsen (sats 8.2.3) som är en av höjdpunkterna i grundläggande linjär algebra. Beviset för dimensionssatsen är kanske lite svårt, men har du möjlighet och lust är det väl värt tiden det tar att förstå det. Gör följande övningar i första hand:

• 8.2.3, 8.2.3, 8.2.7, 8.2.17, 8.2.21

8.3 Inversa linjära avbildningar

Gör följande övningar i första hand:

• 8.3.1, 8.3.3

Har du tid över kan du göra även:

• 8.3.16