Dag 23

Linjär algebra

9.5 Kvadratiska former

En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2.

Exempel 1: $x^2+2xy+y^2$.

Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.

Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktligt.

Gör följande övningar i första hand:

• 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7. 9.5.9ab

Har du tid över kan du göra även:

• 9.5.3e, 9.5.11

9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt

I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem. Att enbart ha kvadrattermer utan blandade andragradstermer i en kvadratisk form är bra för att avgöra vilken av de tre typerna av kurvor, som en andragradsekvation representerar.

Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=\big(\frac{x+y}{\sqrt 2}\big)^2-\big(\frac{x-y}{\sqrt 2}\big)^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi därför $2xy=(x')^2-(y')^2$.

Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.

Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$/$y^2=kx$. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5.

Gör följande övningar i första hand:

• 9.6.1

Har du tid över kan du göra även:

• 9.6.9, 9.6.11

9.7 Kvadratiska ytor

Gör följande övningar i första hand:

• 9.7.1

Har du tid över kan du göra även:

• 9.7.5, 9.7.7, 9.7.9