Dag 9
Linjär algebra
3.1 Introduktion till vektorer
Vektorer är ett av matematikens allra mest användbara begrepp. En vektor är en riktning tillsammans med en längd. Du har säkert redan stött på vektorer i gymnasiefysiken där man exempelvis beskriver krafter med hjälp av vektorer. En kraft brukar markeras med en pil som pekar i kraftens riktining och vars längd anger kraftens styrka.
Man kan alltså tänka på en vektor $v$ i planet som en riktad sträcka och om denna sträcka. Om denna sträcka har startpunkt $A$ och slutpunkt $B$ så skriver man ofta $v=\vec{AB}$. Vad som är mycket viktigt att hålla i minnet är dock att olika riktade sträckor representerar samma vektor om deras längder och riktningar är lika. Exempelvis har vi att om $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $C=(6,-2)$ och $D=(8,-1)$ så är $\vec{AB}=\vec{CD}$. (Pricka in punkterna $A, B, C$ och $D$ i ett koordinatsystem och rita ut $AB$ och $CD$ för att kontrollera detta!)
Två vektorer $u$ och $v$ kan adderas på följande sätt: Rita upp $u=\vec{AB}$ med början i en valfri punkt $A$. Rita sedan $v=\vec{BC}$ med startpunkt i $u$s slutpunkt. De båda vektorerna summa $u+v$ definieras då som $\vec{AC}$, diagonalen i den parallellogram som har $u$ och $v$ som sidor. (Rita figur!) Genom att rita upp parallellogrammen ser man också tydligt att vektor addition är kommutativ, dvs att $u+v=v+u$.
