Dag 2

Linjär algebra

2.2 Andragradsekvationer med komplexa koefficienter

Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla sorters rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade pq-formeln. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$. Den senaste löses på ett sätt som visas i Exempel 2.9.

3.1 Polynom och faktorsatsen

För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall förstå varför de är som de är. Detsamma gäller Satserna 2.7 och 2.8. Kommentar. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).

För att tillgodogöra dig innehållet i avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta n och w med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$. Kommentar. Beviset av den så kallade de Moivres formel, som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.

Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand:

• 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.11-2.12

Har du tid över kan du göra även:

• 2.4, 2.6, 2.9