Dag 4

Linjär algebra

1.1 Linjära ekvationsystem och matriser

Något förenklat kan man säga att den linjära algebran handlar om att översätta geometriska problem till algebraiska och vice versa. Det visar sig att en mycket stor del av de geometriska problem vi kommer att intressera oss för kan översättas till frågor om så kallade linjära ekvationssystem.

En linjär ekvation i $n$ obekanta är en ekvation som kan skrivas på formen $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ \cdots +a_{n-1}x_{n-1}+a_nx_n=0 $ Några exempel på linjära ekvationer i 3 variabler är $ 5x_1+17x_2-12x_3=0 $ och $\sqrt{5}x_1-x_2+\pi x_3=0$. Ekvationen $\sqrt{x_1}+x_2-x_3=0$ är däremot inte linjär. Skriv nu upp två egna exempel på linjära och icke-linjära ekvationer innan du läser vidare. Läs sedan igenom sidorna 1-3 (tom exempel 2)i boken. Lös övning 1.1.3 (a) och (c) som en kontroll på att du förstått det du har läst. Välj parametern som beskriver svaret på 1.1.3 (a) på två olika sätt och fundera på vilket samband som finns mellan dina två parametrar (på liknande sätt som görs i exempel 2(a), sid 2-3).

Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning linjära ekvationer. För att en uppsättning värden $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ skall räknas som en lösning till systemet krävs att alla ekvationer är uppfyllda om man sätter $x_1=a_1, x_2=a_2$ osv. Längre fram i kursen kommer vi att visa att varje linjärt ekvationssystem har antingen ingen, en eller oändligt många lösningar. För system med två obekanta är detta detsamma som att säga att det för att antal linjer i planet finns antingen inga, en eller oändligt många punkter där de alla strålar samman. Ge exempel på dessa tre olika fall. Läs sedan resten av avsnitt 1.1 i boken och lös övningarna 1.1.7 och 1.1.8. Det tar ofta en stund att förstå nya matematiska begrepp, så det kanske tar ett tag innan du kommer på lösningen. När du känner dig säker på svaret kan du jämföra med lösningarna på nätet: Klicka på länken [1], välj "Browse by chapters" i menyn i vänsterkanten och sedan kapitel 1, avsnitt 1, samt klicka på det problem du vill se lösningen av. Om du skulle köra fast helt i dina lösningsförsök så kan du också hitta tips på nätsidorna ovan.

1.2 Gausselimination

En trevlig egenskap hos linjära ekvationssystem är att det finns en algoritm för att lösa dem, dvs en metod som för varje ekvationssystem består av ett ändligt antal steg. Den vanligaste metoden kallas Gausselimination och beskrivs i avsnitt 1.2. Man lär sig metoden bäst genom övning så jag föreslår att du först läser igenom avsnitt 1.1 och sedan löser uppgifterna 1.2.6abc, 1.2.7ab, 1.2.8abcd, 1.2.13c. När du har klarat av dem kan du, om du har tid över, lösa 1.2.12ab och 1.2.17. Till det sista problemet kan du hitta lösningar och tips på nätsidan på samma sätt som beskrivs oven i anvisningarna till avsnitt 1.1. Som du kommer att märka tar det tid och kräver stor noggrannhet att lösa linjära ekvationssystem för hand. Normalt använder man datorer för att ta fram lösningen, men det är mycket viktigt att förstå hur det går till, vilket man lär sig vid handräkning. Denna förståelse krävs för att kunna programmera en dator till att lösa linjära ekvationssystem. Dessutom ger insikt i metoden intressant kunskap som sats 1.2.1: Att ett homgent system med fler obekanta en ekvationer alltid har ett oändligt antal lösningar. Har man förstått processen vid Gausselimination blir denna sats nästan självklar.

1.3 Matriser och matrisräkning

En matris är inget mer exotiskt än ett rektangulärt schema av tal, tex heltal eller reella tal. (Läs s.23-25 för att se några exempel.) Det som är intressant och listigt med matriser är att man kan addera, subtrahera och multiplicera dem och att dessa operationer visar sig ha väldigt användbara egenskaper. I det här avsnittet skall vi fokusera på hur räkneoperationerna går till, varför de är så användbara kommer vi att återkomma till senare. Ett exempel på användbarheten av matrismultiplikation finns dock redan på sid 32, att ett linjärt ekvationsystem smidigt kan skrivas med hjälp av matriser. Läs nu avsnitt 1.3 noggrant och lös sedan uppgifterna 1.3.4bcdef, 1.3.5abcdgj och 1.3.13a. Återigen kan du hitta hjälp på traven och lösningar till en del av uppgifterna på kursbokens hemsida: [2].