Dag 10

Linjär algebra

3.4 Vektorprodukt

Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$.

Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $(u \times v) \times w$ och $u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.

Resten av avsnittet innehåller en rad intressanta och viktiga egenskaper som jag ger en kort listning av här, men överlåter åt dig att läsa närmare om i läroboken.

I den blå rutan på sidan 147 visas hur vektorprodukten kan uttryckas som en determinant. Detta är ofta användbart i både praktiska och teoretiska sammanhang. Av detta följer också att den så kallade skalära trippelprodukten, $u \cdot (v \times w)$ är lika med determinanaten av matrisen med $u, v$ och $w$ som rader. (se sid 149.)

Längden av $u \times v$ är arean av den parallellogram som har vektorerna $u$ och $v$ som sidor.

Sats 3.4.4 om hur areor av parallellogram och parallellepipeder kan beräknas med hjälp av determinanter är viktig. Försök förstå beviset och lägg även märke till att en konsekvens är sats 3.4.5 som vi kommer återkomma till många gånger framöver.

Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.