Dag 12

Linjär algebra

4.3 Egenskaper hos linjära avbildningar

I detta avsnitt skall vi lära oss mer om några viktiga egenskaper hos linjära avbildningar. En avbildning $T$ kallas injektiv (one-to-one eller injective på engelska) om $T(x)=T(y)$ bara gäller då $x=y$, dvs om man stoppar in två olika element så får man också ut två olika element. Det är särskilt intressant med injektiva avbildningar från $R^n$ till $R^n$. I boken visas att för en sådan avbildning är injektivitet, surjektivitet (Varje element $y$ i $R^n$ är $T(x)$ för något $x$ i $R^n$.) och inverterbarhet hos standardmatrisen ekvivalenta. (Att påståendena är ekvivalenta innebär att för vissa avbildningar är alla tre sanna, för andra avbildningar är alla tre falska. Det kan däremot inte finnas en linjär avbildning $R^n \rightarrow R^n$ som exempelvis är injektiv men inte surjektiv.) Vi vet också sedan tidigare att en matris är inverterbar om och endast om dess determinant är skild från noll. Detta ger oss ett mycket praktiskt sätt att kolla om en linjär avbildning från $R^n$ till $R^n$ är injektiv (eller surjektiv): Ta fram matrisen och kolla om determinanten är noll eller ej.

Om $T:R^n \rightarrow R^n$ är injektiv så kan man visa att den har en invers vars matris är inversen till $T$'s matris. Detta gör att man kan finna inverser på två sätt: algebraiskt genom att skriva upp matrisen och invertera den som vi lärt oss tidigare, eller geometriskt genom att tänka ut vilken transformation som skulle återställa effekten av den givna avbildningen. Läs mer om detta i boken.

Satserna 4.3.2 och 4.3.3 är båda viktiga. Den första ger ett bra sätt att avgöra om en avbildning är linjär och den andra en utmärkt metod för att ta fram standardmatrisen för en linjär avbildning. Se till att du både kan förstå och tillämpa dessa satser!

Avsnittets sista sidor om egenvärden och egenvektorer kan du läsa igenom översiktligt, vi kommer att läsa oss mycket mer om detta i kursens sista modul.