Här

Linjär algebra

== Lösning av övning 1.4.14

==

Visa att om en kvadratisk matris $A$ uppfyller $A^2-3A+I=0$ så är $A^{-1}=3I-A$.

Lösning: För att visa att $B=3I-A$ är en invers till $A$ så behöver vi kontrollera att $AB=BA=I$. Vi har $AB=A(3I-A)=3A-A^2=I$. I sista likheten har vi använt sambandet $A^2-3A+I=0$. På liknande sett ser vi att $BA=(3I-A)A=3A-A^2=I$ och därmed är beviset klart.