Dag 2

Linjär algebra

Läs första stycket i Avsnitt 3.1 till att börja med.

2.2 Andragradsekvationer med komplexa koefficienter

Detta avsnitt är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade pq-formeln. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.

3.1 Polynom och faktorsatsen

Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom.

I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, får $x^4+3x^2$, vilket subtraheras från $f(x)$.

Gör följande övningar i avsnitt 2.4 första hand:

• 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.11-2.12

Har du tid över kan du göra även:

• 2.4, 2.6, 2.9