D

Linjär algebra

Något förenklat kan man säga att den linjära algebran handlar om att översätta geometriska problem till algebraiska och vice versa. Det visar sig att en mycket stor del av de geometriska problem vi kommer att intressera oss för kan översättas till frågor om så kallade linjära ekvationssystem.

En linjär ekvation i $n$ obekanta är en ekvation som kan skrivas på formen $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ \cdots +a_{n-1}x_{n-1}+a_nx_n=0 $ Några exempel på linjära ekvationer i 3 variabler är $ 5x_1+17x_2-12x_3=0 $ och $\sqrt(5)x_1-x_2+\pi x_3=0$. Ekvationen $\sqrt{x_1}+x_2-x_3=0$ är däremot inte linjär. Skriv nu upp två egna exempel på linjära och icke-linjära ekvationer innan du läser vidare. Läs sedan igenom sidorna 1-3 (tom exempel 2)i boken. Lös övning 1.1.3 (a) och (c) som en kontroll på att du förstått det du har läst. Välj parametern som beskriver svaret på 1.1.3 (a) på två olika sätt och fundera på vilket samband som finns mellan dina två parametrar (på liknande sätt som görs i exempel 2(a), sid 2-3).

Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning linjära ekvationer. För att en uppsättning värden $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ skall räknas som en lösning till systemet krävs att alla ekvationer är uppfyllda om man sätter $x_1=a_1, x_2=a_2$ osv. Längre fram i kursen kommer vi att visa att varje linjärt ekvationssystem har antingen 0, 1 eller oändligt många lösningar. För system med 2 obekanta är detta detsamma som att säga att det för att antal linjer i planet finns antingen 0, 1 eller oändligt många punkter där de alla strålar samman. Ge exempel på dessa tre olika fall. Läs sedan resten av avsnitt 1.1 i boken och lös övningarna 1.1.7 och 1.1.8. Det tar ofta en stund att förstå nya matematiska begrepp, så det kanske tar ett tag innan du kommer på lösningen. När du känner dig säker på svaret kan du jämföra med lösningarna på nätet: [1] och [2]. Om du skulle köra fast helt i dina lösningsförsök så kan du också hitta tips på nätsidorna ovan.