Dag 3

Linjär algebra

1.2 Induktion

Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Innan du börjar läsa, gäller det att repetera summabeteckningen $\sum$ från Dag 1. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.

När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.

1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal.

2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.

3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$.

Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:

• 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12

Har du tid över kan du göra även:

• 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15