Dag 6

Linjär algebra

1.6 Mer om ekvationssystem och inverterbarhet

Det här avsnittet bygger vidare på teorin för linjära ekvationssystem och innehåller flera viktiga satser. Här kommer beviset för att varje linjärt ekvationssytem har ingen, en eller oändligt många lösningar som utlovades i avsnitt 1.1. Dessutom visas att när man skall visa att $B$ är invers till $A$ så räcker det att kolla att $AB=I$ eller $BA=I$. Den viktigaste satsen är dock 1.6.4 som beskriver hur inverterbarhet av en kvadratisk matris $A$ hänger ihop med lösbarhet hos system $A\bf x=y$. I satsen radas ett antal ekvivalenta påståenden upp. Detta innebär att för en vissa matriser $A$ är alla sex påståendena i satsen sanna och föra andra matriser $A$ är alla sex falska. Det kan alltså inte vara så att några påståenden är sanna och några falska för samma matris. Läs nu avsnitt 1.6 och lös sedan följande uppgifter: 1.6.1, 1.6.9abc och 1.6.17. För svar till den sista övningen gå till Svar på övning 1.6.17.

1.7 Diagonala triangulära och symmetriska matriser

Detta avsnitt, som är relativt lättläst, beskriver tre speciella typer av kvadratiska matriser. En diagonal matris har bara nollor utanför diagonalen, en triangulär bara nollor ovanför (alternativt nedanför) diagonalen. En symmetrisk matris är oförändrad efter spegling i diagonalen, eller med andra ord $A^T=A$. När du läst igenom avsnittet i boken kan du kontrollera dina kunskaper genom att räkna 1.7.3, 1.7.10ab och 1.7.11.