Lösning till övning 3.4.12

Linjär algebra

Bestäm alla enhetsvektorer som är parallella med $yz$-planet och vinkelräta mot vektorn $v=(3,-1,2)$.

Lösning: De vektorer som är parallella med $yz$-planet är precis de som är vinkelräta mot $yz$-planets normal. En normal till $yz$-planet ges av $n=(1,0,0)$. Vi söker alltså vektorer vinkelräta mot både $v$ och $n$. En sådan vektor måste vara en multipel av $w=v \times n = (0,2,1)$. (OBS! När man har räknat ut en vektorprodukt så kollar man alltid att den är vinkelrät mot de båda ursprungsvektorerna genom att kolla att skalärprodukterna blir noll. Det är en billig och effektiv försäkring mot felräkningar.) Nu är det bara att välja de multipler $aw$ som har längden ett. $||aw||$=|a|\cdot||w||=|a| \sqrt{5}$ så $a = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ är de $a$-värden som ger $aw$ längden ett.

Svar: De två vektorer som uppfyller villkoren är $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1)$.