Svar till övningar på avsnitt 4.3

Linjär algebra

4.3.6a Avgör om den linjära avbildningen $T: R^3 \rightarrow R^3$ är injektiv och bestäm i så fall standardmatrisen för den inversa avbildningen $T$.

Det är givet i uppgiften att $T$ har matris $A=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)$. Inverterbarhet kan kontrolleras med hjälp av

$det(A)= \left| \begin{array}{c|c|c} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c|c|c} 1 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c|c} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right| = -1 \neq 0$

(I första steget drar i ifrån kolumn 1 från kolumn 2, vilket inte påverkar determinanten, och sedan utvecklar vi efter sista raden.)

Att determinanten inte är noll visar att $T$ är inverterbar. Vi räknar ut inversen till $A$ med elimination (Har du glömt hur man gör? Se exempel 4 på sid 55!) och får

$A^{-1}=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -5 \end{array} \right)$.

När du beräknat en invers så kolla alltid att $A^{-1}A$ verkligen blir enhetsmatrisen. Risken för felräkningar är överhängande.

4.3.14a Använd sats 4.3.3 för att bestämma standardmatrisen för $T: R^3 \rightarrow R^3$ från bilderna av standardbasvektorerna.