Svar till 7.1.23

Linjär algebra

7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.

$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.

Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.