Dag 14
Linjär algebra
5.3 Linjärt oberoende
Detta avsnitt handlar västenligen om ekvationen $k_1{\bf v}_1+k_2{\bf v}_2+\ldots +k_r{\bf v}_r={\bf 0}$ för en uppsätning av vektorer ${\bf v}_i$. Läs igenom definitionen och de efterförljande exemplen. Lösningen $k_1=k_2=\ldots =k_r$ kallas den triviala lösningen i litteraturen. Märk väl att ekvationen har antingen en lösning, den triviala, eller oändligt många. I Exempel 1 ges den icke-triviala lösningen $k_1=3, k_2=1, k_3=-1$, men ekvationen har även lösningen $k_1=-6, k_2=-2, k_3=2$ och $k_1=3\pi, k_2=\pi, k_3=-\pi$ och alla oändligt många på formen $k_1=3t, k_2=t, k_3=-t$, där $t$ är ett godtyckligt reellt tal. Lösning av ekvationen för att avgöra om en uppsätning av vektorer är linjärt beorende eller ej leder till lösning av linjära ekvationssystem, såsom visas i exempel 4. Läs noga igenom exempel 2 och 5, som visar hur det går till att avgöra linjärt oberoende i andra vektorrum än $R^2$.
Sats 5.3.1 är ett mycket nyttigt resultat. Hoppa inte över beviset, som ger en god insikt om begreppet linjärt oberoende. Ett vanligt missförstånd är att tro att om någon av vektorerna inte kan skrivas som linjär kombination av de övriga, så blir hela uppsättningen linjärt oberoende. Som det står i sats 5.3.1(b) ska ingen av vektorerna kunna skrivas som linjär kombination av de övriga för att linjärt oberoende skall gälla. Exempel: vektorerna ${\bf v}_1=(1,-1,2), {\bf v}_2=(3,0,-1), {\bf v}_3=(1,2,3), {\bf v}_4=(-1,-2,5)$ är linjärt beroende, ty ekvationen har lösning $k_1=-2t, k_2=t, k_3=0, k_4=t$, där $t$ är reellt; då kan man aldrig uttrycka ${\bf v}_3=(1,2,3)$ som linjär kombination av de övriga vektorerna.
Läs beviset av sats 5.3.2(a) och försök bevisa 5.3.2(b). Beviset av sats 5.3.3 är en bra repetition av egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Hoppa över resten av avsnittet.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.3.1ab, 5.3.2 [ svar till 5.3.2 ], 5.3.3ab, 5.3.4abcd [ svar till 5.3.4 ], 5.3.5ab, 5.3.7
Har du tid över kan du göra även:
- 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19
