Dag 15
Linjär algebra
5.5 Rad-, kolumn- och nollrum
En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7
Har du tid över kan du göra även:
- 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19
5.6 Linjärt oberoende
En och samma vektor $\bf v$ i, säg, $R^3$ kan skrivas som linjär kombination av tre linjärt oberoende vektorer på ett unikt sätt. Om man däremot väljer fyra vektorer i $R^3$, kommer $\bf v$ att kunna skrivas som linjär kombination av dessa fyra på ett oändligt antal sätt. För att ha en unik representation, inför man en bas. En bas för ett vektorrum $V$ är alltså en uppsättning av linjärt oberoende vektorer, basvektorer, som genererar ("span" eller "generate" på engelska) $V$; det sistnämnda innebär att varje vektor ${\bf v}\in V$ kan på ett unikt sätt skrivas som en linjär kombination av basvektorerna. Läs nu definitionen, sats 5.4.1 och gärna dess bevis. Gå igenom alla exemplen, exempel 8 är dock överkurs. Sats 5.4.2 följer enkelt från egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Läs vidare tom exempel 10, texten efter det kan du läsa översiktligt.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.4.1, 5.4.3, 5.4.11
Har du tid över kan du göra även:
- 5.4.13, 5.4.17, 5.3.21
