Dag 16

Linjär algebra

6.1 Inreproduktrum

Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas inre produkt. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt inreproduktrum. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen eller absolutbeloppet av en vektor, $\vert\vert\bf u\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.

Gör följande övningar i första hand:

• 6.1.3, 6.1.9

Har du tid över kan du göra även:

• 6.1.5, 6.1.7, 6.1.23

6.2 Vinklar och ortogonalitet

Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.

Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."

Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet.