Dag 22

Linjär algebra

8.4 Avbildningsmatriser

Vi skall i detta avsnitt se hur varje linjära avbildning mellan två ändligdimensionella vektorrum $V$ och $W$ kan beskrivas med matris. Tricket är att fixera en bas i vardera vektorrummet så att man sedan kan arbeta med koordinatvektorer istället för de ursprungliga vektorerna. Då kan man ta fram en matris som sådan att om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så fås koordinatvektorn för $T(v)$ genom att mulitplicera koordinatvektorn för $v$ med matrisen. Observera att hur matrisen ser ut beror på vilka baser man har valt. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med linjära avbildningar. Mer om det senare, först skall vi ta reda på hur matrisen ser ut.

Låt $T: V \rightarrow W$ vara en linjär avbildning, $B$ en bas i $V$ och $B'$ en bas i $W$. Om $[v]_B$ betecknar koordinatvektorn för $v$ i basen $B$ (repetera övre halvan av sidan 253 om du är det minsta osäker på vad som menas med detta!) så söker vi en matris $A$ sådan att

$A[v]_B=[T(v)]_{B'}$

Om vi stoppar basvektorerna nummer $k$ från basen $B$ i detta samband ser vi att kolumn $k$ i $A$ måste bestå av $B'$-koordinaterna för bilden av denna basvektor. Du kan läsa en utförligare version av detta viktiga resonemang i boken. Matrisen $A$ betcknas i boken med $[T]_{B',B}$, eftersom man måste ange vilka baser man arbetar med för att matrisen skall ge en beskrivning av avbildningen $T$. Observara att om $B$ och $B'$ är standardbaserna i $V=R^n$ respektive $W=R^m$ så är $[T]_{B',B}$ ingenting annat än standardmatrisen för $T$.

Läs nu igenom avsnittet i kursboken. Det är viktigt att du förstått det ordentligt och lyckats lösa övningsuppgifterna innan du går vidare till nästa avsnitt som bygger vidare på detta.

Gör följande övningar i första hand:

• 8.4.1, 8.4.5, 8.4.9

Har du tid över kan du göra även:

• 8.4.16

Svar till sista uppgiften finner du här.

8.5 Similaritet

Gör följande övningar i första hand:

• 8.5.5, 8.5.7