Dag 23

Linjär algebra

9.5 Kvadratiska former

En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2.

Exempel 1: $x^2+2xy+y^2$.

Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.

Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktligt.

Gör följande övningar i första hand:

• 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7. 9.5.9ab

Har du tid över kan du göra även:

• 9.5.3e, 9.5.11

9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt

I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem.

Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=(\frac{x+y}{\sqrt 2})^2-(\frac{x-y}{\sqrt 2})^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi $2xy=(x')^2+(y')^2$.

Gör följande övningar i första hand:

• 9.6.1

Har du tid över kan du göra även:

• 9.6.9, 9.6.11

9.7 Kvadratiska ytor

Gör följande övningar i första hand:

• 9.7.1

Har du tid över kan du göra även:

• 9.7.5, 9.7.7, 9.7.9